ممان اینرسی یک سطح حول محور مایل

هنگام تعیین ممان اینرسی یک سطح به روش انتگرال‌گیری معمولاً مشخص می‌شود که گرچه انجام انتگرال‌گیری برای موقعیت‌های معینی از محور نسبتاً آسان است، اما موقعیت‌های دیگر ممکن است به دلیل شکل مرز سطح دشوار باشند. به عنوان مثال، ممان اینرسی یک سطح مستطیلی برای هر محوری که با یکی از اضلاع موازی باشد به راحتی با انتگرال‌گیری قابل محاسبه است. با این حال، برای محوری که با اضلاع زاویه‌ای مایل دارد، انتگرال‌گیری و جایگزینی شرایط مرزی مشکل‌تر می‌شود. بنابراین، ما به روشی نیاز داریم که با داشتن ممان اینرسی حول یک محور دیگر، ممان اینرسی سطح را حول هر محور مایل در آن سطح تعیین کند.

در شکل 1 فرض کنید که ممان‌های اینرسی $I_{x}$ و $I_{ν}$ حول محورهای $x y$ معلوم هستند و می‌خواهیم ممان اینرسی حول محور را که زاویه‌ای برابر با $ϕ$ با محور $x$ می‌سازد، بیابیم.

مختصات یک المان سطح $d A$ در سیستم را می‌توان بر حسب مختصات در سیستم $x y$ بیان کرد. ممان اینرسی حول محور سپس با رابطه زیر داده می‌شود: با قرار دادن $\cos^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 ϕ)$ و $\sin^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 ϕ)$ ، این عبارت به صورت زیر تبدیل می‌شود: بنابراین اگر ممان‌های اینرسی $I_{x}$ و $I_{y}$ و حاصل‌ضرب اینرسی $I_{x y}$ معلوم باشند، ممان اینرسی حول هر محور مایلی قابل محاسبه خواهد بود.

مثال. ممان اینرسی سطح یک مستطیل را حول یکی از قطرهای بلند آن بیابید (شکل 2).

راه حل. مرکز مستطیل را به عنوان مبدأ مختصات سیستم $x y$ در نظر می‌گیریم. در این سیستم داریم: عبارت کلی برای ممان اینرسی حول محور مایل به صورت زیر است: در این حالت: به طوری که:

4.8.1 مسائل

1. به روش انتگرال‌گیری حاصل‌ضرب اینرسی $I_{x y}$ سطح یک مستطیل را که مطابق شکل در ربع اول قرار دارد، بیابید. این نتیجه را با استفاده از قضیه انتقال برای حاصل‌ضرب‌های اینرسی بررسی کنید.

2. حاصل‌ضرب اینرسی $I_{x y}$ سطح یک ربع دایره را که جهت‌گیری آن مطابق شکل است، بیابید.

3. حاصل‌ضرب اینرسی $I_{x y}$ شکل نشان داده شده در مثال ۳ از بخش: ممان اینرسی قطبی یک سطح را بیابید.

4. نشان دهید که مجموع ممان‌های اینرسی حول دو محور عمود بر هم در صفحه یک سطح، مستقل از زاویه چرخش محورها در آن سطح مقداری ثابت است، به عنوان مثال در شکل ۱، ثابت. نشان دهید که این نتیجه بر اساس تعریف ممان اینرسی قطبی قابل انتظار است.

5. نشان دهید که حاصل‌ضرب اینرسی یک سطح نسبت به دو محور مایل (مطابق شکل زیر) با رابطه زیر داده می‌شود:

6. نشان دهید که زاویه تعیین‌کننده محوری که حول آن ممان اینرسی بیشینه یا کمینه است با رابطه زیر به دست می‌آید (شکل مسئله قبلی را ببینید): $\tan 2 ϕ = \frac{2 I_{x y}}{I_{y} - I_{x}} .$ نشان دهید که اگر ممان اینرسی حول یک محور بیشینه باشد، آنگاه حول محور عمود بر آن کمینه است. محورهایی که حول آن‌ها ممان اینرسی بیشینه و کمینه است، محورهای اصلی سطح نامیده می‌شوند.

7. نشان دهید که حاصل‌ضرب اینرسی یک سطح نسبت به محورهای اصلی برابر با صفر است (به مسئله ۱۰۸ بالا مراجعه کنید).

8. کتاب راهنمای فولاد ساختمانی بیان می‌کند که کمترین شعاع ژیراسیون سطح مقطع یک نبشی با ضخامت $6 \times 4 \times 1 in$ حول هر خطی در سطح برابر با $0.86 in$ است. این مقدار با فرض اینکه شکل مقطع مطابق نمودار داده شده باشد، با چه دقتی تأیید می‌شود؟ مقدار این کمترین شعاع ژیراسیون برای تحلیل مقاومت چنین عضو سازه‌ای مورد نیاز است.