مرکز ثقل

در تقریبی به خوبی که در بیشتر کارهای مهندسی مورد نیاز است، سیستم نیروهای گرانشی وارد بر یک جسم می‌تواند به عنوان یک سیستم نیروی موازی در نظر گرفته شود. از آنجا که نیروهای گرانشی همواره حاضرند و در بیشتر مسائل باید در نظر گرفته شوند، مطلوب خواهد بود که با استفاده از یک تحلیل کلی، رفتار چنین سیستم‌های نیروی موازی ساده‌سازی شود.

ابتدا نشان خواهیم داد که سیستم نیروهای گرانشی موازی وارد بر یک جسم، برای هر جهتی از جسم، یک برآیند دارد که از یک نقطه خاص در جسم عبور می‌کند. این مرکز نیروهای گرانشی موازی، مرکز ثقل جسم نامیده می‌شود، و وزن کل جسم را می‌توان تا آنجا که ملاحظات ایستایی (استاتیکی) مد نظر است، متمرکز در آن نقطه در نظر گرفت.

یک سیستم صلب را در نظر بگیرید که توسط سه ذره شکل ۱ نمایش داده شده است.

بر این سیستم نیروهای گرانشی موازی $F_1,F_2$ و $F_3$ وارد می‌شوند. در این شکل، محور $y$ جهت عمودی نیست، بلکه به سیستم یک جهت‌گیری کلی در فضا داده شده است.

اکنون هر یک از نیروهای موازی را به سه مؤلفه مستطیلی تجزیه می‌کنیم: که در آن $k_1,k_2,k_3$ کسینوس‌های هادی بوده و برای تمام نیروها یکسانند، زیرا نیروها موازی هستند.

با در نظر گرفتن سیستم نیروهای موازی با محور $x$، طبق اصل گشتاورها داریم: اما $$R_x=k_1{F}_1+k_1{F}_2+k_1{F}_3$$ بنابراین

$$y_c=\frac{{\displaystyle k_1\sum (F)(y)}}{{\displaystyle k_1\sum F}}=\frac{{\displaystyle \sum (F)(y)}}{{\displaystyle \sum F}}$$ و $$z_c=\frac{{\displaystyle \sum (F)(z)}}{{\displaystyle \sum F}}$$ به طور مشابه، با در نظر گرفتن مؤلفه‌های نیرو موازی با محور $y$، می‌یابیم: $$x_c=\frac{{\displaystyle \sum (F)(x)}}{{\displaystyle \sum F}}$$

بدین ترتیب نقطه‌ای را تعریف کرده‌ایم $x_c,y_c,z_c$ که نقطه اثر برآیند هر سیستم موازی نیروهای گرانشی است. از آنجا که کسینوس‌های هادی خاص که جهت‌گیری سیستم را تعریف می‌کنند از تحلیل حذف می‌شوند، دیده می‌شود که مکان این مرکز نیروهای موازی مستقل از جهت‌گیری جسم است. این نقطه مرکز ثقل سیستم نامیده می‌شود.

با اعمال این اصل به یک جسم همگن با وزن کل $W$، می‌توانیم این نیروی منفرد $W$ را به سیستمی از نیروهای موازی هر یک به اندازه $dW$ تبدیل کنیم به طوری که $W={\displaystyle \int dW}$. سپس، اگر هر جزء وزنی $dW$ را با مختصات $x,y,z$ معلوم کنیم، برای مکان مرکز ثقل جسم داریم: