فشار در یک سیال

حجم بسیار کوچکی از سیال را به شکل یک منشور مثلثی در نظر بگیرید، همانطور که در شکل ۱ نشان داده شده است.

از تعریف سیال می‌دانیم که تحت شرایط تعادل، نیروهای $F_1,F_2$ و غیره که توسط سیال بر وجوه منشور وارد می‌شوند، عمود بر سطوح هستند، یعنی هیچ نیروی مماسی در یک سیال ساکن وجود ندارد. ما فشار در سیال را به عنوان نیروی سطحی در واحد سطح تعریف می‌کنیم و این فشارها را با حرف کوچک $p$ نشان می‌دهیم. بنابراین در شکل ۱، فشار $p_1$ مربوط به نیروی $F_1$ برابر با ${\displaystyle \frac{F_1}{dzdl}}$ خواهد بود، با این فرض که سطوح المان به اندازه کافی کوچک باشند تا بتوان گفت نیرو به طور یکنواخت روی وجوه المان توزیع شده است.

با جمع نیروها در جهت‌های $x$ و $y$، برای شرط تعادل داریم: در این معادلات، از هرگونه نیروی حجمی متناسب با حجم المان، مانند نیروی گرانش، صرف‌نظر می‌کنیم، زیرا با بینهایت کوچک شدن المان، چنین نیروهای حجمی شامل کمیت‌های کوچک از مرتبه سوم می‌شوند، در حالی که نیروهای سطحی شامل جملات مرتبه دوم هستند.

از معادلات فوق، با توجه به اینکه $dl\sin \alpha =dy$ و $dl\cos \alpha =dx$، داریم: $$\begin{array}{c}{p}_{2}dydz-p_{1}dydz=0,\\ p_{3}dxdz-p_{1}dxdz=0.\end{array}$$ بنابراین، $$p_1=p_2=p_3.$$

از آنجا که $\alpha$ را هر زاویه‌ای در نظر گرفته‌ایم، می‌توان نتیجه گرفت که فشار در یک نقطه از سیال بر روی هر سطحی که از آن نقطه عبور می‌کند یکسان است و مستقل از جهت آن سطح می‌باشد. این یکی از تفاوت‌های اساسی بین یک سیال ایده‌آل و اجسامی مانند یک جامد الاستیک است که در آن فشار به جهت سطحی که بر آن وارد می‌شود بستگی دارد.