حاصل‌ضرب لختی یک سطح

یک سطح و یک دستگاه مختصات $xy$ را در صفحه سطح، مطابق شکل ۱ در نظر بگیرید.

انتگرال حاصل‌ضرب لختی سطح نسبت به دستگاه مختصات $xy$ نامیده می‌شود. انتگرال‌هایی به این شکل اغلب در تحلیل مسائل دینامیک و مقاومت مصالح ظاهر می‌شوند و محاسبه چنین جملاتی ضروری خواهد بود.

برای برخی از اشکال ساده، محاسبه حاصل‌ضرب لختی به طور مستقیم از طریق انتگرال‌گیری امکان‌پذیر خواهد بود. برای اشکال پیچیده‌تر، شکل را می‌توان به اجزای ساده‌تری تقسیم کرد که حاصل‌ضرب لختی آن‌ها شناخته شده است یا به راحتی تعیین می‌شود، و حاصل‌ضرب لختی کل برابر با مجموع حاصل‌ضرب‌های لختی اجزا خواهد بود. برای این منظور، داشتن قضیه محورهای موازی برای انتقال حاصل‌ضرب لختی از یک دستگاه مختصات به دستگاه دیگر مطلوب خواهد بود.

فرض کنید حاصل‌ضرب لختی $I_{x_c{y}_c}$ یک سطح برای محورهای متعامد واقع در مرکز سطح، مطابق شکل ۲، مشخص باشد. برای یافتن حاصل‌ضرب لختی $I_{xy}$ نسبت به هر دستگاه مختصات موازی دیگر، داریم: جمله اول به $x_c{y}_{c}A$ تبدیل می‌شود، جملات دوم و سوم حذف می‌شوند زیرا محورهای از مرکز سطح عبور می‌کنند، و جمله آخر برابر با $I_{x_c{y}_c}$ است، به طوری که: اگر قرار است محورها از یک محور غیرمرکزی به یک محور موازی غیرمرکزی منتقل شوند، باید توجه داشت که ابتدا لازم است حاصل‌ضرب لختی نسبت به یک دستگاه مرکزی به عنوان یک گام میانی تعیین شود. رابطه فوق برای انتقال به محورهای موازی تنها زمانی صادق است که محورهای در مرکز سطح قرار داشته باشند.

از آنجا که جملات $x$ و $y$ که در عبارت حاصل‌ضرب لختی ظاهر می‌شوند می‌توانند مثبت یا منفی باشند، خود حاصل‌ضرب لختی نیز می‌تواند مثبت یا منفی باشد. آن بخش از مساحت که در ربع اول قرار دارد، حاصل‌ضرب لختی مثبتی به دست می‌دهد، آن بخش که در ربع دوم قرار دارد حاصل‌ضرب لختی منفی به دست می‌دهد و غیره. علامت حاصل‌ضرب لختی کل معمولاً با بازرسی چشمی قابل بررسی است، زیرا به بخش‌های نسبی از مساحت که در ربع‌های مختلف قرار دارند بستگی خواهد داشت. اگر هر یک از محورهای $x$ یا $y$ محور تقارن شکل باشد، آنگاه $I_{xy}=0$ خواهد بود، زیرا برای خنثی کردن هر جمله مثبت $xydA$، یک جمله منفی $xydA$ وجود خواهد داشت. این واقعیت اغلب می‌تواند در ترکیب با قضیه محورهای موازی برای یافتن حاصل‌ضرب لختی بدون انتگرال‌گیری استفاده شود.

مثال. حاصل‌ضرب لختی مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه را نسبت به محورهای مرکزی موازی با قاعده و ارتفاع بیابید.

حل. این مسئله را می‌توان به مستقیم‌ترین شکل با یافتن حاصل‌ضرب لختی نسبت به دستگاه مختصات $xy$ نشان‌داده‌شده در شکل ۳ از طریق انتگرال‌گیری و سپس با استفاده از قضیه انتقال برای یافتن حاصل‌ضرب لختی مرکزی حل کرد. از قضیه انتقال داریم: توجه داشته باشید که صورت مسئله به یک پاسخ منحصربه‌فرد منجر نمی‌شود، زیرا علامت $I_{x_c{y}_c}$ به جهت‌گیری بستگی دارد (شکل ۴).