ویژگی‌های یک زوج

یک زوج نیرو به عنوان سیستمی از دو نیروی موازی با بزرگی مساوی اما در جهت مخالف تعریف شده است. اکنون نشان خواهیم داد که مجموع گشتاورهای نیروهای یک زوج نیرو مستقل از نقطه‌ای است که گشتاورها حول آن گرفته می‌شوند.

دو نیروی مساوی و مخالف $𝐅_{1}$ و $𝐅_{2}$ را در نظر بگیرید؛ $𝐅_{1} + 𝐅_{2} = 0$ (شکل ۱). فرض کنید $𝐫_{1}$ و $𝐫_{2}$ بردارهایی هستند که از هر نقطه $O$ به نقاطی روی خطوط اثر $𝐅_{1}$ و $𝐅_{2}$ رسم شده‌اند. $𝐚$ بردار $(𝐫_{2} - 𝐫_{1})$ است. مجموع گشتاورهای دو نیروی زوج نیرو، گشتاور زوج نیرو نامیده می‌شود و با بردار $𝐂$ نمایش داده می‌شود.

$𝐂 = 𝐫_{1} \times 𝐅_{1} + 𝐫_{2} \times 𝐅_{2}$ از آنجایی که $𝐅_{1} = - 𝐅_{2}$ ، این معادله به صورت زیر در می‌آید:

$𝐂 = (𝐫_{2} - 𝐫_{1}) \times 𝐅_{2} = 𝐚 \times 𝐅_{2}$ از آنجایی که $O$ را می‌توان هر نقطه‌ای بدون تغییر بردار $𝐚$ در نظر گرفت، گشتاور زوج نیرو مستقل از مرکزی است که گشتاورها حول آن گرفته می‌شوند. بنابراین گشتاور یک ویژگی خود زوج نیرو است و می‌توان آن را به عنوان معیار کمی بزرگی زوج نیرو در نظر گرفت. بنابراین یک زوج نیرو کاملاً توسط بردار زوج نیرو $𝐂 = 𝐚 \times 𝐅$ مشخص می‌شود. بزرگی بردار زوج نیرو برابر است با $(𝐅) (𝐚 \sin θ) = (𝐅) (d)$ ، که در آن $d$ فاصله عمودی بین نیروهای زوج نیرو است. جهت عمود بر صفحه شامل دو نیرو است و سوی آن متناظر با جهت پیشروی یک پیچ راست‌گرد است که توسط نیروهای زوج نیرو چرخانده می‌شود.

از آنجایی که $𝐂$ مستقل از هر نقطه خاصی است، بردار زوج نیرو یک خط اثر یکتا مانند بردار نیرو ندارد.

از تعریف فوق زوج نیرو به عنوان یک بردار، تعدادی ویژگی مستقیماً نتیجه می‌شود:

دو زوج نیرو هم‌ارز هستند (اثر حرکتی یکسانی بر یک جسم دارند) اگر گشتاورها و جهت‌های آنها یکسان باشند. مقادیر خاص نیرو و بازوی گشتاور مهم نیستند؛ تنها حاصل‌ضرب این دو است که عملکرد زوج نیرو را تعیین می‌کند.
نیروهای یک زوج نیرو می‌توانند با هر زاویه‌ای در صفحه خود دوران داده شوند، یا به هر موقعیتی در صفحه انتقال یابند، بدون اینکه اثر حرکتی زوج نیرو بر یک جسم تغییر کند.
نیروهای یک زوج نیرو می‌توانند به هر صفحه موازی منتقل شوند بدون اینکه اثر حرکتی زوج نیرو بر یک جسم تغییر کند.

مسائل

1. با توجه به دو زوج نیرو که در نمودار نشان داده شده‌اند، مجموع آنها را بیابید:
(الف) با جمع مستقیم نیروهای زوج و تشکیل یک زوج نیروی جدید.
(ب) با جمع بردارهای زوج نیرو.

پاسخ

$54.0 ft \cdot lb$

2. با مراجعه به نمودار مسئله قبل، مجموع گشتاورهای نیروهای سیستم حول خط $O P$ که در صفحه $x z$ قرار دارد را بیابید. این کار را ابتدا با گرفتن مستقیم گشتاورها حول خط $O P$ و سپس با یافتن مؤلفه بردار زوج نیروی برآیند، همانطور که در مسئله قبل یافت شد، روی خط $O P$ انجام دهید.

پاسخ

$- 40.1 ft \cdot lb$

3. برآیند سیستم سه زوج نیروی نشان داده شده در نمودار را بیابید.

پاسخ

$68 𝐣 + 39 𝐤$

4. زوج نیروی برآیند سه زوج نیروی فضایی نشان داده شده در شکل را بیابید.

پاسخ

$28.3 𝐢 - 104 𝐣 - 585 𝐤$

5. شش نیرو با بزرگی مساوی در امتداد لبه‌های یک مکعب مطابق نمودار عمل می‌کنند. برآیند سیستم را بیابید.