توصیف تحلیلی یک بردار

توصیف یک بردار با استفاده از مؤلفه‌های مستطیلی آن روش مناسبی است، همان‌طور که قبلاً در مورد خاص بردارهای نیرو مشاهده کردیم. قراردادهای مربوط به یک دستگاه مختصات مستطیلی را می‌توان در شکل ۱ مشاهده کرد.

بردارهای یکه $𝐢,𝐣,𝐤$ به عنوان بردارهایی با اندازه واحد و جهت‌های به ترتیب محورهای مختصات $x,y,z$ تعریف می‌شوند. بنابراین مؤلفه برداری در امتداد یکی از محورهای مختصات را می‌توان با ارائه اندازه مؤلفه به همراه بردار یکه مناسب نشان داد. برای مثال، در شکل ۱، مؤلفه $x$ بردار $𝐚$ به صورت $a_x𝐢$ نوشته می‌شود و بردار $𝐚$ به صورت $𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$ نوشته می‌شود.

می‌توانیم ضرب اسکالر دو بردار را به صورت زیر بنویسیم:

$$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$$ $$𝐛=b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤$$ از تعریف ضرب اسکالر، روابط زیر بین بردارهای یکه برقرار است: $$𝐢\cdot 𝐢=𝐣\cdot 𝐣=𝐤\cdot 𝐤=1$$ زیرا در هر مورد بردارها اندازه ۱ دارند و هم‌جهت هستند. همچنین: $$𝐢\cdot 𝐣=𝐣\cdot 𝐤=𝐤\cdot 𝐢=𝐢\cdot 𝐤=𝐣\cdot 𝐢=𝐤\cdot 𝐣=0$$ زیرا دو بردار از مجموعه‌های مربوطه عمود هستند. بنابراین ضرب نقطه‌ای برابر است با

$$𝐚\cdot 𝐛=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$