برآیند سیستم عمومی نیروها

اکنون می‌توان یک روش تحلیلی کلی برای تعیین برآیند هر سیستم نیروی سه‌بعدی توسعه داد. این روش شامل جایگزینی هر نیروی سیستم با یک نیروی معادل گذرنده از یک نقطه خاص و یک کوپل می‌باشد. سپس این نیروها و کوپل‌ها را می‌توان به‌سادگی جمع کرد تا نیروی برآیند و کوپل برآیند برای کل سیستم به‌دست آید. این روش در شکل ۱ نشان داده شده است که در آن، برای سادگی، فقط دو نیرو نشان داده شده‌اند. با این حال، این روش برای هر تعداد نیرو معتبر است.

در شکل ۱الف دو نیروی کلی ${𝐅}_1$ و ${𝐅}_2$ داده شده‌اند و مسئله تعیین برآیند آنهاست. ما هر نیرو را به یک نیروی موازی، گذرنده از مبدأ یک دستگاه مختصات مستطیلی، و یک کوپل $𝐂$ تجزیه می‌کنیم، و بدین ترتیب سیستم را به مجموعه‌ای از نیروهای هم‌رس و کوپل‌ها کاهش می‌دهیم، همان‌طور که در (ب) نشان داده شده است. هر یک از نیروهای هم‌رس را می‌توان به مؤلفه‌هایی در امتداد سه محور مختصات تجزیه کرد، مانند (پ)، و مجموع این مؤلفه‌های مستطیلی، مؤلفه‌های مستطیلی نیروی برآیند $𝐑$ را به‌دست می‌دهد که سپس می‌توان آن را مانند (ت) یافت. بردارهای کوپل را می‌توان دقیقاً به همین روش جمع کرد و بنابراین سیستم نیروی کلی به یک نیرو و یک کوپل کاهش می‌یابد که به‌صورت زیر داده می‌شوند: $$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2};$$$${\theta }_x={\cos }^{-1}\frac{R_x}{R},{\theta }_y={\cos }^{-1}\frac{R_y}{R},{\theta }_z={\cos }^{-1}\frac{R_z}{R}$$ که در آن $$R_x=\sum F_x;R_y=\sum F_y;R_z=\sum F_z$$ و $$C=\sqrt{C_x^2+C_y^2+C_z^2};$$ $${\varphi }_x={\cos }^{-1}\frac{C_x}{C},{\varphi }_y={\cos }^{-1}\frac{C_y}{C},{\varphi }_z={\cos }^{-1}\frac{C_z}{C}$$ که در آن $$C_x=\sum M_x;C_y=\sum M_y;C_z=\sum M_z$$

در عمل، نیازی نیست تصور کنیم که نیروها به نیروها و کوپل‌ها تجزیه شده‌اند، مانند شکل ۱. از آن‌جا که نیروها در مبدأ همواره موازی نیروهای متناظر در موقعیت اصلی خود خواهند بود، مؤلفه‌های مستطیلی نیروها در سیستم اصلی همان‌ها خواهند بود که در سیستم نیروهای هم‌رس وجود دارند. در مورد کوپل‌ها، یکی از نیروهای هر کوپل از مبدأ می‌گذرد و بنابراین لنگر آن حول سه محور مختصات صفر است. لنگر هر یک از نیروهای اصلی حول هر یک از محورهای مختصات، بنابراین برابر مؤلفه بردار کوپل در امتداد آن محور خواهد بود. فقط کافی است سیستم نیروی کلی را در موقعیت داده شده آن در نظر بگیریم و بنویسیم: $$R_x=\sum F_x;R_y=\sum F_y;R_z=\sum F_z;$$ $$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2};$$ $${\theta }_x={\cos }^{-1}\frac{R_x}{R},{\theta }_y={\cos }^{-1}\frac{R_y}{R},{\theta }_z={\cos }^{-1}\frac{R_z}{R}$$ $$C_x=\sum M_x;C_y=\sum M_y;C_z=\sum M_z;$$ $$C=\sqrt{C_x^2+C_y^2+C_z^2};$$$${\varphi }_x={\cos }^{-1}\frac{C_x}{C},{\varphi }_y={\cos }^{-1}\frac{C_y}{C},{\varphi }_z={\cos }^{-1}\frac{C_z}{C}$$

این روش هر سیستم نیروی سه‌بعدی کلی را به یک نیروی منفرد و یک کوپل منفرد کاهش می‌دهد. برای بیشتر مسائل، کاهش چنین سیستم‌های نیرویی تا همین‌جا لازم است. در واقع، در بیشتر مسائل مهندسی، مؤلفه‌های نیرو و کوپل در امتداد محورهای مختصات مورد نیاز هستند، به طوری که معمولاً نیازی به محاسبه نیرو و لنگر برآیند نخواهد بود. یک سیستم شامل یک نیرو و یک کوپل را همواره می‌توان به یک نیروی گذرنده از نقطه‌ای خاص و یک کوپل که بردار آن موازی نیرو است تجزیه کرد؛ یعنی بردار کوپل را می‌توان موازی بردار نیرو ساخت. محوری که بردار نیرو در امتداد آن عمل می‌کند در این حالت محور مرکزی سیستم نامیده می‌شود.

تحلیل سیستم‌های نیرو بر اساس خطوط کلی فوق، نخستین بار توسط لویی پواسون (۱۷۷۷-۱۸۵۹) صورت گرفت و در دو اثر اصلی او، Éléments de Statique (1803) و Nouvelle Théorie de la Rotation des Corps (1834) بررسی شد. در این آثار، همراه با مشارکت‌های مهم دیگر در دینامیک، او نظریه کوپل‌ها و محور مرکزی را توسعه داد و برای نخستین بار، حل سیستم‌های نیروی کلی را نظام‌مند کرد.

مثال ۱ برآیند سیستم نیروی نشان داده شده در شکل ۲ را بیابید.

راه حل:

بنابراین نیروی برآیند بردار زیر است: $$𝐑=6.09𝐢+32.25𝐣+1.26𝐤\text{lb}$$

در صورت نیاز، اندازه و جهت این بردار را می‌توان یافت: $$R=\sqrt{(6.09{)}^2+(32.25{)}^2+(1.26{)}^2}=32.8\text{lb}$$ $${\theta }_x={\cos }^{-1}\frac{6.09}{32.8}={\cos }^{-1}0.1852={79.3}^{\circ }$$ $${\theta }_y={\cos }^{-1}\frac{32.25}{32.8}={\cos }^{-1}0.9840={10.3}^{\circ }$$ $${\theta }_z={\cos }^{-1}\frac{1.26}{32.8}={\cos }^{-1}0.0384={87.8}^{\circ }$$

$$𝐂=121.1𝐢+38.9𝐣+44.1𝐤\text{ft-lb}$$

$$C=\sqrt{(121.1{)}^2+(38.9{)}^2+(44.1{)}^2}=135\text{ft-lb}$$

$${\varphi }_x={\cos }^{-1}\frac{121.1}{135}={\cos }^{-1}0.898={26.1}^{\circ }$$ $${\varphi }_y={\cos }^{-1}\frac{38.9}{135}={\cos }^{-1}0.288={73.3}^{\circ }$$ $${\varphi }_z={\cos }^{-1}\frac{44.1}{135}={\cos }^{-1}0.327={70.9}^{\circ }$$

نیروی برآیند و کوپل در شکل ۳ نشان داده شده‌اند.

مثال ۲. برآیند سیستم نیروهای موازی نشان داده شده در شکل ۴ را بیابید.

راه حل. توجه می‌کنیم که برای هر سیستم نیروی موازی، نیروهای کوپل برآیند را می‌توان موازی نیروی برآیند مرتب کرد، و بنابراین کوپل برآیند و نیروی برآیند را همواره می‌توان به یک نیروی منفرد یا یک کوپل منفرد تجزیه کرد. بنابراین، به جای اعمال روش کلی برای این مسئله، از اصل لنگرها مستقیماً برای یافتن موقعیت نیروی برآیند استفاده می‌کنیم: $$R=\sum F=-10-15-10+5+20=-25\text{ lb}$$ فاصله $z$ برآیند از صفحه $xy$ را می‌توان با گرفتن لنگرها حول محور $x$ به‌دست آورد: برآیند رو به پایین باید در موقعیتی باشد که لنگر مثبتی حول محور $x$ ایجاد کند. $$z=\frac{\sum M_x}{R}=\frac{25\text{ ft-lb}}{25\text{ lb}}=1\text{ فوت در جلوی صفحه }xy\text{ .}$$ فاصله $x$ برآیند از صفحه $yz$ را می‌توان با گرفتن لنگرها حول محور $z$ به‌دست آورد: برآیند رو به پایین باید در موقعیتی باشد که لنگر منفی حول محور $z$ ایجاد کند. $$x=\frac{\sum M_z}{R}=\frac{-95\text{ ft-lb}}{-25\text{ lb}}=3.8\text{ فوت در سمت راست صفحه }yz\text{ .}$$ باید توجه داشت که به طور کلی نمی‌توان علامت لنگر را با گرفتن حاصل‌ضرب علامت بازوی لنگر و علامت نیرو تعریف کرد.

در شکل ۵ دو نیروی $𝐅$ دیده می‌شوند که جهت لنگر آنها حول محور $x$ یکسان است. در هر مورد، جهت لنگر پادساعتگرد است هنگامی که از مبدأ به سوی انتهای مثبت محور $x$ نگاه کنیم؛ بنابراین طبق قاعده پیچ راست‌گرد، لنگرها منفی هستند. برای نیروی موازی محور $y$، نیرو مثبت و بازوی لنگر مثبت است، به طوری که حاصل‌ضرب مثبت است. برای نیروی موازی محور $z$، نیرو منفی و بازوی لنگر مثبت است، بنابراین حاصل‌ضرب منفی است. بنابراین آشکار خواهد بود که هیچ قرارداد علامتی، سازگاری کامل بین جهت‌های نیروها، بازوها و لنگرها را به‌دست نمی‌دهد. استفاده از نماد برداری هر گونه مشکلی از این نوع را برطرف می‌کند.

1.13.1 مسائل

۱. سه نیرو به یک تیر مطابق نمودار وارد می‌شوند. (الف) برآیند سیستم را بیابید. (ب) این برآیند را به دو مؤلفه در نقاط $A$ و $B$ تجزیه کنید.

پاسخ

230 lb; $F_A=141$ lb, $F_B=89$ lb

۴. برآیند سیستم نیروی نشان داده شده در نمودار را بیابید.

پاسخ

بزرگی نیرو = 38.2 lb

۵. برآیند سه نیروی هم‌رس نشان داده شده در شکل را بیابید.

پاسخ

$29.6𝐢+23.3𝐣+22.2𝐤$

۹. برآیند نیروهای نشان داده شده در نمودار را بیابید.

پاسخ

$268\mathrm{lb}$; $1414\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

۱۰. برآیند نیروهای نشان داده شده در نمودار را تعیین کنید. یک نیروی منفرد گذرنده از نقطه $A$ و یک کوپل بیابید که با هم معادل سیستم داده شده باشند.

پاسخ

$160\mathrm{lb}$; $-179\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

۱۱. سه نیروی نشان داده شده در شکل را با یک نیروی منفرد گذرنده از مبدأ و یک کوپل جایگزین کنید.

پاسخ

$200(-0.565𝐢-0.424𝐣+0.707𝐤)$

۱۲. سه نیروی نشان داده شده در شکل $P$، $2P$ و $3P$ هستند، همان‌طور که مشخص شده. رابطه جبری بین ابعاد $x_1$، $y_1$ و $z_1$ را چنان بیان کنید که یک نیروی منفرد بتواند معادل نیروهای داده شده باشد.

پاسخ

$6x_1+3y_1+2z_1=0$