Constantes, variables y parámetros

Esfuerzos Normales en Flexión

En el Art. 30, se ha establecido que en una viga sometida a flexión pura (es decir, sobre la que actúan únicamente pares en los extremos) las fuerzas internas son normales a la sección transversal. Si existen fuerzas transversales, entonces generalmente se establece en la sección transversal un sistema de fuerzas cortantes así como un sistema de fuerzas normales. El objetivo de este capítulo es estudiar la distribución de estas fuerzas internas y calcular sus intensidades. La consideración de estos dos tipos de esfuerzo se tratará de forma totalmente separada: la cuestión de los esfuerzos normales (llamados indistintamente esfuerzos de flexión, flexión o de fibra) se tratará primero.

Imagine, entonces, una viga sometida a flexión pura. Para encontrar la distribución de estas fuerzas internas sobre la sección transversal, debe considerarse la deformación de la barra. Para el caso simple de una barra que tiene un plano longitudinal de simetría con los pares de flexión externos actuando en este plano, la flexión tendrá lugar en este mismo plano. Si la barra es de sección transversal rectangular y se trazan dos líneas verticales adyacentes $mm$ y $pp$ en sus lados, el experimento directo muestra que estas líneas permanecen rectas durante la flexión y rotan de manera que permanecen perpendiculares a las fibras longitudinales¹ de la barra (Fig. 130). La siguiente teoría de la flexión se basa en la suposición de que no solo líneas como $\mathrm{mm}$ permanecen rectas, sino que:

1. Toda la sección transversal de la barra, originalmente plana, permanece plana y normal a las fibras longitudinales de la barra después de la flexión.
2. El material es homogéneo y obedece la ley de Hooke.
3. Cada fibra longitudinal actúa como si estuviera separada de todas las demás fibras, es decir, no hay presiones laterales ni esfuerzos cortantes entre las fibras.
4. La viga es recta y de sección transversal uniforme.
5. Los módulos de elasticidad en tracción y compresión son iguales.

El experimento muestra que la teoría basada en estas suposiciones da resultados muy precisos para la deflexión de las barras y la deformación de las fibras longitudinales. De la primera suposición, se deduce que durante la flexión las secciones transversales $mm$ y $pp$ rotan una respecto a la otra alrededor de ejes perpendiculares al plano de flexión, de modo que las fibras longitudinales en el lado convexo experimentan extensión y las del lado cóncavo compresión. La línea $nq$ es la traza de la superficie en la que las fibras no experimentan deformación durante la flexión. Esta superficie se denomina superficie neutra y su intersección con cualquier sección transversal se denomina eje neutro. El alargamiento $st$ de cualquier fibra, a una distancia $y$ por debajo de la superficie neutra, se obtiene trazando la línea $qs$ paralela a $mm$ (Fig. 130a). Denotando por $\rho$ el radio de curvatura del eje deformado² de la barra y utilizando la semejanza de los triángulos $nOq$ y $tqs$, el alargamiento unitario de la fibra $rs$ es:

$${ϵ}_x=\frac{st}{nq}=\frac{qs}{nO}=-\frac{y}{\rho }$$

El signo menos en la ec. (a) es necesario para que un valor negativo de $y$ ( $qt$ en la Fig. 130a) haga que ${ϵ}_x$ sea positivo cuando es una deformación por tracción correspondiente, por ejemplo, a $st$ en la figura. Se puede ver que las deformaciones de las fibras longitudinales son proporcionales a la distancia $y$ desde la superficie neutra e inversamente proporcionales al radio de curvatura. ${}^3$

[Inserte la Figura 130 aquí]

A partir de las deformaciones de las fibras longitudinales, los esfuerzos correspondientes se deducen de la ley de Hooke, ${\sigma }_x=E{ϵ}_x$, y:

$${\sigma }_x=-\frac{Ey}{\rho }.$$

La distribución de estos esfuerzos se muestra en la Fig. 131. El esfuerzo en cualquier fibra es proporcional a su distancia desde el eje neutro $nn$. La posición del eje neutro y el radio de curvatura $\rho$, las dos incógnitas en la ec. (51), pueden determinarse ahora a partir de la condición de que las fuerzas distribuidas sobre cualquier sección transversal de la barra deben dar lugar a un par resistente que equilibre el par externo $M$ (ver Art. 30).

[Inserte la Figura 131 aquí]

El momento de la fuerza sobre el elemento anterior con respecto al eje neutro es³:

$$dM=-ydF=-y(-\frac{Ey}{\rho }dA)$$ Sumando tales momentos sobre la sección transversal e igualando la resultante al momento $M$ de las fuerzas externas, se obtiene la siguiente ecuación para determinar el radio de curvatura $\rho$: $$M=\int \frac{E}{\rho }{y}^{2}dA=\frac{E{I}_z}{\rho }\text{ or }\frac{1}{\rho }=\frac{M}{E{I}_z},$$ donde $$I_z=\int y^{2}dA$$ es el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro $Z$. De la ec. (60) se ve que la curvatura $1/\rho$ varía directamente con el momento flector e inversamente con la cantidad $E{I}_z$, que se denomina rigidez a la flexión de la barra. La eliminación de $\rho$ de las ecs. (59) y (60) da la siguiente ecuación para los esfuerzos:

$${\sigma }_x=-\frac{My}{I_z}$$ En la ec. (61) $M$ es positivo cuando produce una deflexión de la barra convexa hacia abajo, como en la Fig. 130; $y$ es positivo hacia arriba.

Los esfuerzos máximos de tracción y compresión ocurren en las fibras más externas y estos esfuerzos máximos vienen dados por la fórmula obtenida de la ec. (61):

$${\left({\sigma }_x\right)}_{max}=-\frac{Mc}{I_z}$$

donde $c$ es la distancia en pulgadas a la fibra exterior que se está investigando. Cuando el eje neutro es un eje de simetría, $c$ es el mismo tanto para las fibras de tracción como para las de compresión.

En gran parte del trabajo de este libro, no habrá confusión si se omiten los subíndices de ${\sigma }_x$ e $I_x$ y se omite el signo menos. Esto resultará en la simplificación de la fórmula (c) y la pondrá de acuerdo con la utilizada por los ingenieros en ejercicio en este país, a saber,

$$\sigma =\frac{Mc}{I}.$$

Se entiende así que $s$ es el esfuerzo normal paralelo al eje longitudinal de la viga, $M$ es el momento flector en pulgadas-libras, $c$ es la distancia en pulgadas a la fibra extrema e $I$ es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje neutro expresado en unidades de pulg. 4. Si es necesario determinar si un esfuerzo es de tracción o compresión, se puede encontrar fácilmente imaginando si la fibra se está extendiendo o contrayendo por la acción de la flexión.

La cantidad $I/c$ se denomina módulo de sección y frecuentemente se denota por $S$ o $Z$, que está en unidades de pulg. ${}^3$. La fórmula (62) puede expresarse como:

$$\sigma =\frac{\text{bending moment}}{\text{section modulus}}$$

En el caso de una sección transversal rectangular (Fig. 130b) tenemos:

$$I=\frac{b{h}^3}{12};\frac{I}{c}=\frac{b{h}^2}{6}$$

Para una sección transversal circular de diámetro $d$:

$$I=\frac{\pi d^4}{64};\frac{I}{c}=\frac{\pi d^3}{32}$$

Para las secciones de perfil utilizadas en el diseño estructural, las magnitudes de $I$ e $I/c$ están tabuladas en manuales.

La derivación precedente de la ec. (61) fue para el caso de una sección transversal rectangular. Se ve fácilmente que los mismos resultados también son válidos para cualquier sección transversal que tenga un plano longitudinal de simetría. Si los pares de flexión