Energía de deformación

Energía Interna y la Primera Ley de la Termodinámica

Cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo deformable, estas fuerzas realizan trabajo sobre el cuerpo. Según la primera ley de la termodinámica, el trabajo realizado sobre el sistema por las fuerzas externas, $\delta W$, y el calor que fluye hacia el sistema, $\delta Q$, es igual al cambio en su energía interna, $\delta U$, y energía cinética, $\delta K$: $$\delta W+\delta Q=\delta U+\delta K.$$

Bajo condiciones adiabáticas ($\delta Q=0$) y equilibrio cuasiestático ($\delta K=0$), esto se reduce a: $$\delta W=\delta U$$ Por lo tanto, el trabajo externo infinitesimal realizado sobre el cuerpo se almacena completamente como energía interna.

Trabajo Virtual de las Fuerzas Externas

Sea el campo de desplazamientos en el cuerpo $$𝐮=(u,v,w)$$ y sean $$\delta 𝐮=(\delta u,\delta v,\delta w)$$ desplazamientos virtuales infinitesimales, que son pequeñas variaciones arbitrarias del campo de desplazamientos compatibles con las condiciones de contorno.

Las correspondientes deformaciones unitarias virtuales infinitesimales se obtienen a partir de los gradientes de los desplazamientos virtuales: $$\delta {ϵ}_{xx}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial x},\delta {ϵ}_{yy}=\frac{\partial (\delta v)}{\partial y},\delta {ϵ}_{zz}=\frac{\partial (\delta w)}{\partial z}$$ y las deformaciones angulares: $$\delta {\gamma }_{xy}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial y}+\frac{\partial (\delta v)}{\partial x},\text{etc.}$$

El trabajo externo realizado por las fuerzas externas consta de dos partes: 1. El trabajo de las tracciones superficiales, $\delta W_S$, y
2. El trabajo de las fuerzas másicas, $\delta W_B$.

Por lo tanto, $$\delta W=\delta W_S+\delta W_B$$

El trabajo de las fuerzas másicas está dado por $$\boxed{\delta W_B={\int }_V\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV}$$ donde $𝐛=[b_x,b_y,b_z]$ es la fuerza másica por unidad de masa.

El trabajo de la tracción superficial está dado por $$\boxed{\delta W_S={\int }_s𝐭\mathbf{\cdot }\widehat{𝐧}dS}$$

Para un elemento de superficie con normal exterior
$$𝐧=[n_x{n}_y{n}_z],$$ el vector de tracción se define como: $$𝐭=𝐧\cdot 𝝈$$ donde $𝝈$ es la matriz de tensiones de Cauchy:

y el desplazamiento virtual es el vector columna: $$\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}\delta u\\ \delta v\\ \delta w\end{array}\right].$$

Por lo tanto, el trabajo virtual en la superficie es: $$\boxed{\delta W_S={\int }_S𝐭\cdot \delta 𝐮dS={\int }_S(𝐧𝝈)\delta 𝐮dS}$$

Desarrollando este término explícitamente como se muestra en su derivación:

Definamos el vector $$𝐅=𝝈\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\delta u+{\sigma }_{xy}\delta v+{\sigma }_{xz}\delta w\\ {\sigma }_{yx}\delta u+{\sigma }_{yy}\delta v+{\sigma }_{yz}\delta w\\ {\sigma }_{zx}\delta u+{\sigma }_{zy}\delta v+{\sigma }_{zz}\delta w\end{array}\right],$$ entonces $$\boxed{𝐭\cdot \delta 𝐮=n_x{F}_x+n_y{F}_y+n_z{F}_z}$$ Esto muestra claramente que la expresión $𝐭\cdot \delta 𝐮$ actúa como el producto punto del vector normal $𝐧$ con el vector $𝐅=𝝈\delta 𝐮$.

Usando el Teorema de la Divergencia

Aplicamos el teorema de la divergencia para convertir la integral de superficie en una integral de volumen: $$\boxed{{\int }_S(F_x{n}_x+F_y{n}_y+F_z{n}_z)dS={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV}$$

Por lo tanto, $$\delta W_S={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV$$

Dado que $$\frac{\partial {\sigma }_{xi}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yi}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zi}}{\partial z}+\rho b_i=0,$$ concluimos que $$\delta W={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$ 

Densidad de Energía de Deformación

Se sigue de la primera ley de la termodinámica bajo condiciones adiabáticas y estáticas ($\delta W=\delta U$) que $$\delta U={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$

El cambio en la energía interna (debido a fuerzas mecánicas) por unidad de volumen se denomina densidad de energía de deformación, denotada por $U_0$: $$\delta U={\int }_V\delta U_{0}dV.$$

Al comparar las dos últimas ecuaciones, obtenemos $$\delta U_0={\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz}.$$

La ecuación anterior puede expresarse en forma diferencial como $$\boxed{d{U}_0={\sigma }_{xx}d{ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}d{ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}d{ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}d{\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}d{\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}d{\gamma }_{yz}.}$$

Obsérvese que los términos que involucran las deformaciones angulares pueden escribirse como la suma de dos componentes correspondientes a las deformaciones angulares tensoriales ${ϵ}_{ij}$.
Por ejemplo: $${\sigma }_{xy}{\gamma }_{xy}={\sigma }_{xy}{ϵ}_{xy}+{\sigma }_{yx}{ϵ}_{yx}.$$

Por lo tanto,

Se sigue de la expresión anterior que

Referencias

1. Boresi, A. P., Schmidt, R. J., & Sidebottom, O. M. (1993). Advanced mechanics of materials (6th ed.). John Wiley & Sons.
2. Malvern, L. E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium. Prentice Hall.
3. Sokolnikoff, I. S. (1956). Mathematical theory of elasticity (2nd ed.). McGraw-Hill.