Fuerzas nodales equivalentes

Al deducir la formulación, IVW = EVW, simplemente supusimos que solo hay fuerzas nodales y por eso EVW = $\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$. Ahora supongamos que existen fuerzas de cuerpo y tracción superficial.

Sea $𝐛$: fuerza de cuerpo por unidad de masa $\overline{𝐭}$: fuerza de contorno prescrita o tracción superficial por unidad de área. (aquí he usado una barra sobre el vector de tracción para indicar que es prescrito)

Entonces $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\overline{𝐭}\cdot \delta 𝐮dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ lo cual puede escribirse como $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \delta {𝐮}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\delta {𝐮}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ Sin embargo, $$\delta 𝐮=𝐍\delta 𝐪$$ o $$\{u\}=[N]\{\delta q\}$$ Por lo tanto,

Igualando EVW = IVW nos da $$𝐊𝐪=𝐅$$ donde $$𝐊={\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV$$ y $$𝐅={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho {𝐍}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{\mathrm{\Gamma }}{𝐍}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+𝐏$$

Ejemplo: Si la viga está cargada como en la siguiente figura,

entonces $$\overline{t}(x)=-\frac{w}{L}x$$ y las fuerzas nodales generalizadas equivalentes son: $$P_1={\int }_0^L{N}_1(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{3wL}{20}$$ $$M_1={\int }_0^L{N}_2(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{w{L}^2}{30}$$ $$P_2={\int }_0^L{N}_3(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{7wL}{20}$$ $$M_2={\int }_0^L{N}_4(x)\overline{t}(x)dx=\frac{w{L}^2}{20}$$ donde