Elementos rectangulares

Mientras que el elemento triangular es simple y puede utilizarse para mallar cualquier geometría bidimensional, su precisión está limitada por la suposición de deformación constante. Para mejorar esto, introducimos el elemento rectangular de 4 nodos. Este elemento permite una distribución de deformación más compleja, lo que conduce a resultados más precisos.

1. Campo de desplazamiento

Para este elemento, el campo de desplazamiento (por ejemplo, para el desplazamiento en u) se aproxima usando un polinomio de cuatro términos. Una adición crucial es el término xy, que permite una distribución de deformación no constante.

$u (x, y) = a_{1} + a_{2} x + a_{3} y + a_{4} x y$

Esto puede escribirse en forma matricial: $u = ⟨ \begin{matrix} 1 & x & y & x y \end{matrix} ⟩ {\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix}}$

Al imponer esta ecuación en cada uno de los cuatro nodos, podemos resolver los coeficientes a en términos de los desplazamientos nodales u. Esto conduce a la relación familiar $u = 𝐍 𝐮$ , donde N es el vector de funciones de forma.

2. Funciones de forma

En lugar de una inversión matricial por fuerza bruta, las funciones de forma para un elemento rectangular pueden construirse elegantemente mediante el producto de funciones de interpolación lineal unidimensionales. Considere un rectángulo con dimensiones a y b. Podemos definir funciones lineales simples en cada dirección:

En la dirección x: $f_{1} (x) = 1 - \frac{x}{a}$ $f_{2} (x) = \frac{x}{a}$
En la dirección y: $g_{1} (y) = 1 - \frac{y}{b}$ $g_{2} (y) = \frac{y}{b}$

Las funciones de forma bidimensionales se forman entonces tomando productos de estas funciones 1D. Para un nodo i, la función de forma es el producto de las funciones 1D que son iguales a 1 en ese nodo.

$N_{1} (x, y) = f_{1} (x) g_{1} (y) = (1 - \frac{x}{a}) (1 - \frac{y}{b})$
$N_{2} (x, y) = f_{2} (x) g_{1} (y) = (\frac{x}{a}) (1 - \frac{y}{b})$
$N_{3} (x, y) = f_{2} (x) g_{2} (y) = (\frac{x}{a}) (\frac{y}{b})$
$N_{4} (x, y) = f_{1} (x) g_{2} (y) = (1 - \frac{x}{a}) (\frac{y}{b})$

3. Matriz de deformación-desplazamiento y rigidez

Dado que las funciones de forma ahora contienen términos x y y, sus derivadas ya no son constantes. Por ejemplo, para $N_{1}$ :

$\frac{\partial N_{1}}{\partial x} = - \frac{1}{a} (1 - \frac{y}{b}), \frac{\partial N_{1}}{\partial y} = - \frac{1}{b} (1 - \frac{x}{a})$

La matriz B ahora contendrá términos que son funciones de x y y. Esto significa que la deformación, dada por ${ϵ} = 𝐁 𝐪$ , ya no es constante dentro del elemento. Puede variar linealmente, lo que es una mejora significativa sobre el Triángulo de Deformación Constante.

La matriz de rigidez del elemento se calcula usando la fórmula estándar:

$𝐊 = \int_{V} 𝐁^{T} 𝐄 𝐁 d V = t \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} 𝐁 (x, y)^{T} 𝐄 𝐁 (x, y) d x d y$

Debido a que la matriz B es una función de x y y, el integrando ya no es una constante y la integración debe realizarse explícitamente.