El proceso de ensamblaje: El método de superposición directa

La matriz de rigidez de toda la estructura (la matriz de rigidez “global”) se forma combinando las matrices de rigidez de cada elemento individual. Este proceso se llama ensamblaje. La idea fundamental es que la rigidez total en cualquier grado de libertad dado es la suma de las contribuciones de rigidez de todos los elementos conectados a ese grado de libertad.

Podemos entender esto intuitivamente considerando un sistema simple de dos resortes en serie.

Ejemplo: Dos resortes en serie

Considere un sistema con tres nodos y dos resortes que los conectan, como se muestra en las notas. Hay tres desplazamientos nodales (grados de libertad) q₁, q₂, q₃ y tres fuerzas nodales correspondientes F₁, F₂, F₃.

Paso 1: Definir las matrices de rigidez de los elementos Primero escribimos la relación de rigidez para cada resorte (elemento) por separado. Cada resorte es un elemento 1D con dos nodos.

Para el Resorte 1 (rigidez k₁): Las fuerzas locales f₁⁽¹⁾ y f₂⁽¹⁾ están relacionadas con los desplazamientos locales q₁⁽¹⁾ y q₂⁽¹⁾. $[\begin{matrix} f_{1}^{(1)} \\ f_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} \\ - k_{1} & k_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(1)} \\ q_{2}^{(1)} \end{matrix}]$
Para el Resorte 2 (rigidez k₂): De manera similar, para el segundo resorte: $[\begin{matrix} f_{1}^{(2)} \\ f_{2}^{(2)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{2} & - k_{2} \\ - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(2)} \\ q_{2}^{(2)} \end{matrix}]$

Paso 2: Establecer compatibilidad y equilibrio Conectamos los elementos individuales imponiendo dos condiciones:

Compatibilidad de desplazamientos: Relacionamos los desplazamientos nodales locales del elemento con los desplazamientos nodales globales de la estructura.
- q₁⁽¹⁾ = q₁
- q₂⁽¹⁾ = q₂ y q₁⁽²⁾ = q₂ (El nodo del medio es compartido)
- q₂⁽²⁾ = q₃
Equilibrio de fuerzas: La fuerza externa en cada nodo global debe ser igual a la suma de las fuerzas internas de todos los elementos conectados a ese nodo.
- F₁ = f₁⁽¹⁾
- F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ (La fuerza en el nodo del medio es la suma de las fuerzas de ambos resortes)
- F₃ = f₂⁽²⁾

Paso 3: Ensamblar la matriz de rigidez global Ahora construimos el sistema global F = Kq sustituyendo las ecuaciones de los elementos en las ecuaciones de equilibrio.

Fila 1 (Fuerza F₁): F₁ = f₁⁽¹⁾ = k₁q₁⁽¹⁾ - k₁q₂⁽¹⁾ = k₁q₁ - k₁q₂
Fila 2 (Fuerza F₂): Este es el paso clave que muestra la superposición. F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ = (-k₁q₁⁽¹⁾ + k₁q₂⁽¹⁾) + (k₂q₁⁽²⁾ - k₂q₂⁽²⁾) Sustituyendo los desplazamientos globales: F₂ = (-k₁q₁ + k₁q₂) + (k₂q₂ - k₂q₃) = -k₁q₁ + (k₁ + k₂)q₂ - k₂q₃
Fila 3 (Fuerza F₃): F₃ = f₂⁽²⁾ = -k₂q₁⁽²⁾ + k₂q₂⁽²⁾ = -k₂q₂ + k₂q₃

Escribiendo estas tres ecuaciones en forma matricial nos da la matriz de rigidez global ensamblada para toda la estructura:

$[\begin{matrix} F_{1} \\ F_{2} \\ F_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} & 0 \\ - k_{1} & k_{1} + k_{2} & - k_{2} \\ 0 & - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}]$

Observe cómo el término K₂₂ (k₁ + k₂) es la suma de las rigideces de los dos elementos conectados a ese grado de libertad. Esta “superposición directa” es la esencia del proceso de ensamblaje en el Método de los Elementos Finitos.