El principio del trabajo virtual en el método de los elementos finitos

1. Concepto Fundamental

El Método de los Elementos Finitos (FEM) es fundamentalmente una aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales. Veamos qué enuncia este principio.

Desplazamiento Virtual

Considere un campo de desplazamiento virtual $\delta 𝐮$ en el cuerpo. El desplazamiento virtual es arbitrario¹ excepto que debe cumplir con las restricciones de contorno; es decir, es cero donde el desplazamiento está prescrito en el contorno.

Trabajo Virtual Externo (EVW)

El trabajo virtual externo (EVW) es el trabajo realizado por las tracciones y fuerzas de cuerpo reales y está dado por $$EVW={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}𝐭\cdot \delta 𝐮dS+{\int }_{\mathrm{\Omega }}𝐛\cdot \delta 𝐮dV$$ La primera integral es sobre la porción del contorno del cuerpo (𝛤_t) donde se prescribe la tracción. La segunda integral es sobre el volumen (Ω) del cuerpo.

Si las fuerzas de cuerpo son despreciables y solo actúan fuerzas concentradas P en ciertos nodos (o si las tracciones distribuidas se convierten en fuerzas nodales equivalentes, como se explicará más adelante), entonces el trabajo virtual externo se reduce a $$V{W}_E=\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ donde:

• P es el vector de cargas externas reales (fuerzas) aplicadas a los nodos de la estructura.
• $\delta 𝐪$ es el vector de desplazamientos virtuales externos en los nodos correspondientes.

Trabajo Virtual Interno (IVW)

El trabajo virtual interno es la integral del producto del esfuerzo interno real, σ, y la deformación virtual, $\delta 𝝐$, sobre el volumen (Ω) del cuerpo.

$$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ donde:

• $\delta 𝝐$ es la deformación virtual resultante del desplazamiento virtual $\delta 𝐮$. $$\delta 𝝐=\left[\begin{array}{c}\delta {ϵ}_{xx}\\ \delta {ϵ}_{yy}\\ \delta {ϵ}_{zz}\\ \delta {\gamma }_{zx}\\ \delta {\gamma }_{zy}\\ \delta {\gamma }_{xy}\end{array}\right]$$
• σ es el esfuerzo interno real resultante de la carga externa real P. $$𝝈=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{zx}\\ {\sigma }_{zy}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]$$

Si el material es linealmente elástico, entonces usando la relación constitutiva (Ley de Hooke para un material linealmente elástico), podemos expresar el esfuerzo en términos de la deformación:

• ε es la deformación real correspondiente al esfuerzo real σ.
• E es la matriz de elasticidad del material (que contiene propiedades como el Módulo de Young y el Coeficiente de Poisson). Por ejemplo, en un problema de deformación plana: Sustituyendo la ley constitutiva en la expresión del IVW se obtiene: $$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝐄𝝐dV$$

Principio de los Trabajos Virtuales

El principio de los trabajos virtuales establece que el cuerpo está en equilibrio si y solo si el trabajo virtual externo (EVM) es igual al trabajo virtual interno (IVE) para todo campo de desplazamiento virtual admisible. $$EVW=IVW$$ o $$\delta {𝐪}^T𝐏={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ Nosotros anteriormente demostramos este principio.

2. La Matriz de Deformación-Desplazamiento (B)

Un concepto fundamental en el FEM es relacionar el campo continuo de deformaciones dentro de un elemento con sus desplazamientos nodales discretos, q. Esto se logra mediante la matriz de deformación-desplazamiento, B.

La matriz B se deriva de las derivadas de las funciones de forma del elemento, que se discutirán más adelante, y es, en el caso general, una función de las coordenadas x = (x, y, z) dentro del elemento. Para enfatizar, podemos escribir: $$𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)𝐪$$

De manera similar, la deformación virtual está relacionada con los desplazamientos nodales virtuales:

$$\delta 𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)\delta 𝐪$$

Sustituyendo estas relaciones en la ecuación del IVW, podemos expresar el trabajo virtual interno completamente en términos de los desplazamientos nodales:

3. Derivación de la Matriz de Rigidez del Elemento (K)

Al igualar las expresiones del trabajo virtual externo e interno:

$$\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏=\delta {𝐪}^{𝖳}\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV\right)𝐪$$

Como esta ecuación debe cumplirse para cualquier desplazamiento virtual arbitrario $\delta 𝐪$, podemos cancelar el término $\delta {𝐪}^T$ de ambos lados, obteniendo la relación fundamental para un elemento finito:

donde K es una matriz cuadrada llamada matriz de rigidez, definida como:

Esta integral es el corazón de la formulación de elementos finitos para problemas estáticos lineales. Transforma las propiedades geométricas y del material en una matriz que relaciona las fuerzas nodales con los desplazamientos nodales.