Vector de tracción o de tensión

Considere una superficie imaginaria que corta un cuerpo en dos partes.

An imaginary plane cuts through a continuous body that is subjected to external surface forces. Adapted from Wikipedia — **Figura 1** Un plano imaginario corta a través de un cuerpo continuo que está sometido a fuerzas superficiales externas. Adaptado de Wikipedia

El material de un lado de la superficie ejerce un sistema de fuerzas sobre el material del otro lado.

One section of the body is removed, revealing a continuous distribution of internal forces acting on the newly exposed internal surface, centered at point P. — **Figura 2** Se retira una sección del cuerpo, revelando una distribución continua de fuerzas internas que actúan sobre la nueva superficie interna expuesta, centrada en el punto P.

En un pequeño elemento de área $Δ S$ que rodea un punto $P$ en esta superficie, la resultante de la distribución real de fuerzas sobre esta área es una fuerza $Δ 𝐅$ y un momento $Δ 𝐌$ . Sea $\hat{𝐧}$ el vector normal unitario exterior de la superficie en $P$ .

On a small area ΔS around point P, the distributed internal forces are represented by a resultant force ΔF and a resultant moment ΔM. The vector n is normal to the surface. — **Figura 3** En un área pequeña ΔS alrededor del punto P, las fuerzas internas distribuidas se representan por una fuerza resultante ΔF y un momento resultante ΔM. El vector n es normal a la superficie.

Ahora, hacemos que $Δ S$ se reduzca a cero alrededor de $P$ de modo que su mayor dimensión también tienda a cero.¹ Mientras que $Δ 𝐅$ y $Δ 𝐌$ también tienden a cero, una suposición fundamental de la mecánica de medios continuos es que la relación $\frac{Δ 𝐅}{Δ S}$ se aproxima a un límite definido, mientras que el efecto del momento desaparece.² Este límite de la relación de fuerzas se denomina vector de tracción o vector de tensiones, denotado por $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ : $𝐭^{(\hat{𝐧})} = \frac{d 𝐅}{d S} .$

As the area shrinks to an infinitesimal point dS, the force intensity is defined as the traction vector, which is the infinitesimal force dF per unit area dS. — **Figura 4** A medida que el área se reduce a un punto infinitesimal dS, la intensidad de la fuerza se define como el vector de tracción, que es la fuerza infinitesimal dF por unidad de área dS.

Una hipótesis más fuerte, conocida como postulado de Cauchy, también se hace: el vector de tracción $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ depende solo del punto $P$ y de la orientación de la superficie, $\hat{𝐧}$ , y es independiente de la forma del elemento o de la curvatura de la superficie. El superíndice $(\hat{𝐧})$ indica esta dependencia del vector normal.³

El vector de tensión se puede descomponer en dos componentes: una tensión normal $σ_{n}$ que es perpendicular a $Δ S$ y una tensión de corte (o tensión cortante) $τ_{n}$ que se encuentra en el plano.

The traction vector (also known as stress vector) t(n) at a point P on an internal surface is decomposed into two components: a normal stress component σn, which acts perpendicular to the surface, and a shear stress component τn, which acts parallel to the surface. — **Figura 5** El vector de tracción (también conocido como vector de tensiones) t(n) en un punto P de una superficie interna se descompone en dos componentes: una componente de tensión normal σn, que actúa perpendicular a la superficie, y una componente de tensión cortante τn, que actúa paralela a la superficie.

Note que $Δ S \to 0$ contradice el hecho de que los materiales están compuestos de átomos y moléculas, pero tenga en cuenta que (a) asumimos que el material es continuo y que no hay espacio vacío entre las partículas. (b) La definición anterior es muy abstracta y nunca se usa en la práctica.↩︎
Una rama de la mecánica de medios continuos llamada teoría de tensiones de par (o teoría de Cosserat) explora materiales donde $\frac{Δ 𝐌}{Δ S}$ no se aproxima a cero. En cambio, se aproxima a un límite llamado vector de par de tensiones, que es importante para modelar materiales con microestructura interna significativa.↩︎
Note que $Δ S \to 0$ contradice el hecho de que los materiales están compuestos de átomos y moléculas, pero tenga en cuenta que (a) asumimos que el material es continuo y que no hay espacio vacío entre las partículas. (b) La definición anterior es muy abstracta y nunca se usa en la práctica.↩︎