Variación del esfuerzo dentro de un cuerpo

En un cuerpo bajo esfuerzos, las componentes del esfuerzo generalmente varían de un punto a otro. Estas variaciones no son arbitrarias; están gobernadas por la segunda ley de Newton del movimiento. Al aplicar esta ley a un elemento infinitesimal, podemos encontrar las ecuaciones que gobiernan la variación del esfuerzo dentro de un cuerpo.

Considere un elemento con dimensiones $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ y $\mathrm{\Delta }z$. Las componentes del esfuerzo actúan en cada cara de este elemento. En cada cara de este elemento cúbico, las componentes del esfuerzo pueden diferir de las de la cara opuesta. Por ejemplo, si la componente xx del esfuerzo en una cara es ${\sigma }_{xx}$, entonces en la cara opuesta se tomará como ${\sigma }_{xx}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}$​.

Sea $𝐛$ la fuerza de cuerpo por unidad de masa. Por ejemplo, si consideramos solo la gravedad, entonces $b=g$, donde $g$ es la aceleración gravitacional. Por lo tanto, la componente $x$ de la fuerza debida a la fuerza de cuerpo es $$\rho b_x\mathrm{\Delta }V=\rho b_x(\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z).$$ donde $\rho$ es la densidad de masa en el punto.

Ahora, sumando las fuerzas que actúan en la dirección x debido a los esfuerzos en todas las caras y la fuerza de cuerpo, y aplicando la segunda ley de Newton $\sum F_x=m{a}_x$ se obtiene Después de simplificar y dividir ambos lados por el volumen $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$, obtenemos: $$\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{yx}}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{zx}}{\mathrm{\Delta }z}+\rho b_x=\rho a_x$$ En el límite cuando $\mathrm{\Delta }x\to 0$, $\mathrm{\Delta }y\to 0$ y $\mathrm{\Delta }z\to 0$, las razones de diferencia finita se convierten en derivadas parciales: $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho a_x$$ Repitiendo este proceso para las direcciones y y z ($\sum F_y=m{a}_y$ y $\sum F_z=m{a}_z$), llegamos al conjunto completo de ecuaciones: Estas tres ecuaciones pueden escribirse de manera concisa como: $$\boxed{\sum _{j=1}^3\frac{\partial {\sigma }_{ji}}{\partial x_j}+\rho b_i=\rho a_i(i=1,2,3)}$$ Esto también se escribe comúnmente en notación vectorial o tensorial como: $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho 𝐚$$ que significa Esta ecuación se conoce como Primera Ley del Movimiento de Cauchy.