Simetría del tensor de tensiones

Considere un paralelepípedo rectangular de dimensiones $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ y $\mathrm{\Delta }z$.

Se sigue de la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional, que $$\sum M_z=I_{zz}{\alpha }_z$$ donde $M_z$ es el momento resultante respecto al eje z, $I_{zz}$ es el momento de inercia (o masa rotacional) respecto al eje $z$ y ${\alpha }_z$ es la aceleración angular.

De la estática, recordamos que el momento de inercia de un bloque rectangular respecto al eje centroidal $z$ es $$I_{zz}=\frac{1}{12}m[(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2]$$ donde $m$ es la masa del elemento. Expresando $m$ en términos de la densidad, podemos escribir $$m=\rho \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$$ donde $\rho$ es la densidad de masa del material en el punto.

Las componentes de la tensión que contribuyen a $M_z$ son las tensiones cortantes en el plano $xy$. Las fuerzas de volumen no contribuyen al momento. Así, el momento total se puede expresar como Igualando esto con la expresión de inercia, obtenemos Despreciando términos de orden superior, obtenemos $$0={\sigma }_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z-{\sigma }_{yx}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z,$$ lo que lleva a
$${\sigma }_{xy}={\sigma }_{yz}$$

Aplicando la misma lógica para rotaciones alrededor de los ejes x e y, podemos demostrar que ${\sigma }_{yz}={\sigma }_{zy}$ y ${\sigma }_{xz}={\sigma }_{zx}$. Esto significa que en general $${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$ y el tensor de tensiones siempre es simétrico, y para especificarlo solo necesitamos 6 componentes independientes (en lugar de 9). El resultado se mantiene independientemente de si el cuerpo está en reposo, en movimiento uniforme o acelerando. ¹ Este resultado se conoce como Segunda Ley del Movimiento de Cauchy.