Relación entre el vector de tracción y el tensor de tensiones

Para encontrar el vector de tracción $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 80 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ sobre un plano arbitrario con vector normal unitario $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 81 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ , analizamos el equilibrio de un tetraedro infinitesimal. La cara con área $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 82 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ es la cara oblicua, y sus proyecciones sobre los planos coordenados tienen áreas $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 83 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ , $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 84 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ , y $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 85 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ .

Dado que el tetraedro está en equilibrio estático, la suma de todas las fuerzas debe ser igual a cero. Equilibrando las fuerzas en la dirección x se obtiene: $t_{x} Δ S = σ_{x x} Δ S_{x} + σ_{y x} Δ S_{y} + σ_{z x} Δ S_{z} + ρ b_{x} Δ V$ Aquí, el término $t_{x} Δ S$ es la fuerza sobre la cara oblicua, los términos $σ$ son las fuerzas sobre las caras coordenadas, y $ρ b_{x} Δ V$ es la fuerza de cuerpo.

Podemos usar dos relaciones geométricas clave:

Las áreas de las caras coordenadas son proyecciones de la cara oblicua: $Δ S_{x} = n_{x} Δ S, Δ S_{y} = n_{y} Δ S, Δ S_{z} = n_{z} Δ S .$
El volumen de un tetraedro es $Δ V = \frac{1}{3} h Δ S$ , donde $h$ es la altura perpendicular desde el punto $P$ hasta la cara oblicua.

Sustituyendo estos en el balance de fuerzas y dividiendo por $Δ S$ , obtenemos: $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z} + ρ b_{x} h$

Para encontrar el vector de tracción en el punto $P$ , hacemos que las dimensiones del tetraedro se encojan. En este límite, la altura $h$ tiende a cero, lo que hace que el término de fuerza de cuerpo desaparezca. Esto nos deja con la componente x del vector de tracción: $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z}$

Aplicando la misma lógica a las direcciones y y z, obtenemos las otras componentes: Este conjunto de ecuaciones se conoce como Fórmula del Esfuerzo de Cauchy. En notación matricial, tratando los vectores de tracción y normal como vectores fila, esta relación se escribe como: $[\begin{matrix} t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] o 𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈$

Como se discutió antes, el vector de tracción (también conocido como el esfuerzo) se puede descomponer en dos componentes: (1) una componente de esfuerzo normal y (2) una componente de esfuerzo cortante.

**Figura 1** El vector de tracción (también conocido como vector de esfuerzo) t(n) en un punto P sobre una superficie interna se descompone en dos componentes: una componente de esfuerzo normal σn, que actúa perpendicular a la superficie, y una componente de esfuerzo cortante τn, que actúa paralela a la superficie.

De la figura anterior, es claro que $σ_{n} = 𝐭^{(\hat{𝐧})} \cdot \hat{𝐧}$ y por lo tanto $τ_{n} = | 𝐭^{(\hat{𝐧})} - σ_{n} \hat{𝐧} |$

Ejemplo 1.

Ejemplo¹ Una partícula material se encuentra en un estado de esfuerzo con las siguientes componentes: $𝝈 = [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}]$

Calcule el vector de tracción sobre un plano que intersecta los ejes x, y, z en 1, 2, y 3, respectivamente.
Calcule la magnitud del esfuerzo normal sobre el plano.
Calcule la magnitud del esfuerzo cortante sobre el plano.
Calcule la dirección del esfuerzo cortante sobre el plano.

Solución

Primero encontramos el vector unitario normal al plano.

La ecuación de un plano que intersecta los ejes en x=1, y=2, z=3 es: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ Este plano es normal al vector: $𝐧 \propto [\begin{matrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

Normalizando: $𝐧 = \frac{1}{\sqrt{(1)^{2} + (1 / 2)^{2} + (1 / 3)^{2}}} [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}]$

(a) Vector de tracción sobre el plano

El vector de tracción es: $𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈 = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}]$

(b) Esfuerzo normal sobre el plano

El esfuerzo normal es la proyección de $𝐭$ sobre $𝐧$ :

$σ_{n} = 𝐭 \cdot \hat{𝐧} = \frac{22}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{33}{7} \cdot \frac{3}{7} + \frac{56}{7} \cdot \frac{2}{7} = 7$

(c) y (d) Vector de esfuerzo cortante y su magnitud

El vector de esfuerzo cortante es la componente de $𝐭$ tangente al plano:

$𝝉 = 𝐭 - σ_{n} 𝐧$ $𝝉 = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}] - 7 [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] = \frac{1}{7} [\begin{matrix} - 20 & 12 & 42 \end{matrix}]$

La magnitud es: $| 𝝉 | = \sqrt{{(- \frac{20}{7})}^{2} + {(\frac{12}{7})}^{2} + {(\frac{42}{7})}^{2}} = 6.86$

La dirección es: $\hat{𝝉} = \frac{𝝉}{| 𝝉 |} = \frac{1}{\sqrt{(- 20)^{2} + 12^{2} + 42^{2}}} [\begin{matrix} - 20 \\ 12 \\ 42 \end{matrix}]$

✅ Resultados Finales

Vector de tracción: $𝐭 = (\frac{22}{7}, \frac{33}{7}, \frac{56}{7})$
Esfuerzo normal: $σ_{n} = 7$
Magnitud del esfuerzo cortante: $| 𝝉 | = 6.86$
Dirección del esfuerzo cortante: a lo largo de $[- 20, 12, 42]$

Este ejemplo proviene de las notas de clase del Prof. Suo para ES240 en la Universidad de Harvard, con una adaptación menor.↩︎