Planar Stress Stress. Transformation in 2D

Estado Plano de Tensiones

En muchos problemas de ingeniería, no es necesario un análisis tridimensional completo de las tensiones. Un ejemplo sencillo y muy común de tales situaciones es cuando tratamos con un sistema de tensiones planas. Decimos que un cuerpo está en estado de tensión plana cuando las tensiones en un plano son solo tensiones normales. Este plano a menudo se toma perpendicular al eje z. En ese caso, las tensiones cortantes que involucran la dirección z se anulan: σ_zx=σ_zy=0 y el tensor de tensiones se ve como: $[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & 0 \\ σ_{y x} & σ_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{z z} \end{matrix}]$ Un caso especial del estado plano de tensiones es cuando, además de las tensiones cortantes, la tensión normal en la dirección z, σ_zz, también se anula; entonces tratamos con lo que se llama problemas de tensión plana. Es decir, en un problema de tensión plana, el tensor de tensiones se ve así: $[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & 0 \\ σ_{y x} & σ_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ En este caso, σ_xx, σ_yy y σ_xy no varían a lo largo del espesor del cuerpo. Es decir, son funciones solo de x e y, y son independientes de z. ¹

Otra categoría importante de problemas de estado plano de tensiones son los llamados problemas de deformación plana, que se discutirán más adelante.

En lo que sigue, a menudo usaremos las notaciones de ingeniería para las componentes de tensión, es decir, $[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} \\ τ_{x y} & σ_{y} \end{matrix}]$

Transformación de Tensiones

Supongamos que se conocen las componentes de tensión en coordenadas x-y para un problema de tensión plana. Ahora queremos encontrar las componentes de la tensión en un nuevo sistema de coordenadas que se obtiene girando los ejes x e y un ángulo $θ$ .

Si la longitud del plano oblicuo es $d l$ , entonces las longitudes de los lados del elemento perpendiculares a los ejes x e y son $d l \cos θ$ y $d l \sin θ$ , respectivamente.

Sean $t_{x}$ y $t_{y}$ las componentes del vector tensión que actúa sobre el plano oblicuo. Entonces, de la suma de fuerzas a lo largo de los ejes x e y se deduce que donde $h$ es el espesor del elemento. Después de simplificar, obtenemos

El mismo resultado se puede obtener si observamos que $𝐭$ es el vector tensión en un plano cuyo vector normal unitario es $[\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \end{matrix}]$ : Las componentes de $t_{x}$ y $t_{y}$ en la dirección de son $t_{x} \cos θ$ y $t_{y} \sin θ$ . Sus componentes en la dirección y' (que son las componentes cortantes en el plano oblicuo) son $- t_{x} \sin θ$ y $t_{y} \cos θ$ . Por lo tanto, Sustituyendo las ecuaciones que obtuvimos para $t_{x}$ y $t_{y}$ en las ecuaciones anteriores se obtiene La tensión se puede encontrar a partir de la fórmula para sustituyendo $θ + π / 2$ por $θ$ en esa fórmula, ya que es ortogonal a . y como $\sin (θ + π / 2) = \cos θ$ y $\cos (θ + π / 2) = - \sin θ$ , obtenemos En resumen:

Dado que $\sin^{2} θ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 θ), \cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 θ),$

podemos escribir las Ecs. (5) como Observamos que los segundos términos en las fórmulas para y y los terceros términos en ellas son iguales pero tienen signos opuestos. Por lo tanto, Esto significa que la suma de las tensiones normales en dos planos perpendiculares es invariante. Es decir, en cualquier nuevo sistema de coordenadas, la suma de las tensiones normales es la misma.

También observamos que Por lo tanto, del cálculo sabemos que el máximo y el mínimo de la tensión normal se alcanzan cuando la tensión cortante en ese plano es cero . Las dos direcciones dadas por los valores particulares de $θ$ de la ecuación anterior se llaman direcciones principales, y las tensiones normales correspondientes (que son los valores máximo y mínimo de la tensión normal en cualquier plano) se llaman tensiones principales.

Dado que $\tan (2 θ + π) = \tan (2 θ)$ , si $θ_{p}$ es una solución de la Ec. (9), la otra es $θ_{p} + π / 2$ . Por lo tanto, las direcciones principales son direcciones perpendiculares (o equivalentemente, dos planos que no tienen tensiones cortantes son perpendiculares).

Si queremos encontrar las tensiones principales, tenemos que hallar $\sin 2 θ$ y $\cos 2 θ$ si $\tan 2 θ$ está dado por (9), y sustituir los resultados en las Ecs. (6).

Dado que $\cos^{2} α = \frac{1}{1 + \tan^{2} α}, \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ tenemos Sustituyendo estos valores en (6) se obtienen las tensiones principales (que son los valores máximo y mínimo de la tensión normal): Para encontrar la tensión cortante máxima, tenemos que resolver :

Compare $θ_{s}$ con el ángulo $θ_{p}$ en el que ocurren las tensiones principales: Así vemos que tan 2θ_s es el recíproco negativo de tan 2θ_p, lo que significa que 2θ_s y 2θ_p son ortogonales. Como resultado, las direcciones de la tensión cortante máxima y de la tensión principal difieren en 45°.

Sustituyendo de nuevo en la ecuación de transformación de la tensión cortante se obtiene la tensión cortante máxima:

Círculo de Mohr para Tensiones—Dos Dimensiones

O. Mohr introdujo un método gráfico para representar el estado de tensión en un punto sobre cualquier plano oblicuo. Este enfoque gráfico nos permite:

Determinar rápidamente las tensiones principales ( $σ_{1}$ , $σ_{2}$ ) y sus orientaciones.
Encontrar la tensión cortante máxima en el plano ( $τ_{max}$ ) y su orientación.
Resolver las componentes de tensión en cualquier plano arbitrario sin cálculos extensos.

Considere las ecuaciones para y . Aislemos los términos trigonométricos, restando la tensión normal promedio $σ_{prom} = \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2}$ de :

Si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones, llegamos a:

Comparando la ecuación anterior con la ecuación de un círculo de radio $R$ y centro $(h, k)$ : $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = R^{2},$ nos damos cuenta de que (14) es la ecuación de un círculo con centro $(0, σ_{prom}) = (0, \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2})$ y radio $R = \sqrt{{(\frac{σ_{x} - σ_{y}}{2})}^{2} + τ_{x y}^{2}}$

Cómo Usar el Círculo de Mohr

Una vez dibujado el círculo, todos los estados de tensión posibles para cualquier ángulo están representados en su circunferencia.

Tensiones Principales (σ₁ y σ₂):
- Estos son los puntos donde el círculo interseca el eje horizontal σ. En estos puntos, la tensión cortante es cero.
- σ₁ (Tensión Principal Máxima) es el punto más a la derecha: $σ_{1} = C + R$ .
- σ₂ (Tensión Principal Mínima) es el punto más a la izquierda: $σ_{2} = C - R$ .
Tensión Cortante Máxima en el Plano (τ_max):
- Está representada por los puntos más alto y más bajo del círculo.
- El valor es igual al radio: τ_max = R.
- La tensión normal en los puntos de cortante máximo es la tensión promedio, σ_prom.
Tensiones en un Plano Arbitrario:
- Para encontrar las tensiones en un plano girado un ángulo θ en sentido antihorario desde la cara x en el elemento físico, debe girar 2θ en sentido antihorario desde la línea de referencia CX en el Círculo de Mohr.
- Las coordenadas de este nuevo punto en el círculo le dan el nuevo estado de tensión (σ_x’, τ_x’y’).

Regla Clave: Una rotación de θ en el elemento físico de tensión corresponde a una rotación de 2θ en la misma dirección en el Círculo de Mohr.

La afirmación de que las tensiones en el plano son independientes de la coordenada z es un resultado directo de que las tensiones cortantes σ_xz y σ_yz sean cero. Esto se puede demostrar combinando las ecuaciones de equilibrio con las leyes constitutivas del material. Sin embargo, para que este modelo sea físicamente válido, la dimensión z del objeto debe ser muy pequeña en comparación con sus otras dimensiones.↩︎