Componentes del esfuerzo

Infinitos planos pueden pasar a través de un punto $P$ , cada uno con su propia normal $\hat{𝐧}$ y el vector de tracción correspondiente $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ . La totalidad de estos pares define el estado de tensión en $P$ . En la siguiente sección, mostraremos que el estado de tensión se puede determinar completamente conociendo los vectores de tracción en solo tres planos mutuamente perpendiculares. Es decir, si conocemos las componentes del vector de tracción en tres planos mutuamente, podemos determinar el vector de tracción en cualquier plano arbitrario.

Sean las normales unitarias de estos tres planos los vectores base ${\hat{𝐞}}_{1}$ , ${\hat{𝐞}}_{2}$ , y ${\hat{𝐞}}_{3}$ .^[1] El vector de tracción en el plano perpendicular al eje x₁ es $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{1})}$ . Por simplicidad, denotamos $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{i})}$ como $𝐭^{(i)}$ . Dado que cada $𝐭^{(i)}$ es un vector, tiene tres componentes en la base:

Denotamos la j-ésima componente del vector $𝐭^{(i)}$ como $σ_{i j}$ . Estos nueve valores escalares son las componentes del tensor de tensiones de Cauchy. Generalmente se ordenan en una matriz:

[𝝈] = [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}]

Si la normal de un plano es ${\hat{𝐞}}_{1}$ , la componente $t_{1}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{1} = σ_{11} {\hat{𝐞}}_{1}$ es normal a la superficie, mientras que $t_{2}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{2} = σ_{12} {\hat{𝐞}}_{2}$ y $t_{3}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{3} = σ_{13} {\hat{𝐞}}_{3}$ son las componentes de corte.

En general, las componentes diagonales $σ_{i i}$ ( $σ_{11}$ , $σ_{22}$ , $σ_{33}$ ) se denominan tensiones normales, mientras que las componentes fuera de la diagonal $σ_{i j}$ donde $i \neq j$ ( $σ_{12}$ , $σ_{13}$ , etc.) se denominan tensiones de corte.

Otras notaciones

Otras notaciones comunes para la matriz del tensor de tensiones incluyen:

[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}], [\begin{matrix} τ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & τ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & τ_{z z} \end{matrix}],

y la notación de ingeniería, que utiliza $σ$ para tensiones normales y $τ$ para tensiones de corte:

[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z} \end{matrix}]

Unidades de tensión

En el sistema internacional o SI:

La fuerza se mide en newtons (N)
El área se mide en metros cuadrados (m $^{2}$ )
Dado que la tensión es fuerza dividida por área, la tensión se mide en N/m $^{2}$ . Esta unidad se llama pascal y se denota por Pa:
$1 Pa = 1 {N/m}^{2}$
Debido a que un pascal es bastante pequeño, la tensión a menudo se mide en
- kPa = kilo (10 $^{3}$ ) pascal,
- MPa = mega (10 $^{6}$ ) pascal
- GPa = giga (10 $^{9}$ ) pascal

En el sistema estadounidense:

La fuerza se mide en libras (lb)
El área se mide en pulgadas cuadradas (in $^{2}$ )
La tensión se expresa en libras por pulgada cuadrada (psi) o kilolibras por pulgada cuadrada (ksi) $1 ksi = 10^{3} psi = 10^{3} {lb/in}^{2} .$

Convención de signos

Una cara se define como positiva si su vector normal saliente se alinea con un eje coordenado positivo, y negativa si su normal saliente se alinea con un eje coordenado negativo.

Una componente de tensión se considera positiva si actúa en una dirección coordenada positiva sobre una cara positiva, o si actúa en una dirección negativa sobre una cara negativa. Una consecuencia clave de esta convención es que las tensiones normales de tracción son positivas y las tensiones de compresión son negativas.

o $\hat{𝐢}$ , $\hat{𝐣}$ , y $\hat{𝐤}$ . ↩