Hydrostatic and Deviator Components of Stress

El experimento muestra que los materiales pueden soportar presiones hidrostáticas muy grandes (estado esférico de tensiones) sin sufrir deformación plástica.^[1] En muchos problemas, particularmente en la teoría de la plasticidad, es deseable designar la parte de la tensión total que puede ser efectiva en producir deformación plástica. Esta se conoce como el desviador de tensiones . El otro componente es la componente hidrostática de la tensión $σ_{m}$ .

En la teoría de la plasticidad, es por lo tanto esencial separar matemáticamente el estado total de tensiones en dos componentes:

Un componente que intenta provocar un cambio de volumen.
Un componente que causa un cambio de forma (distorsión), que es responsable de la deformación plástica.

El componente que causa el cambio de forma se conoce como tensión desviadora (o el desviador de tensiones), denotado por (o a veces por $s_{i j}$ ). El componente que causa el cambio de volumen es la tensión hidrostática, denotada por $σ_{m}$ .

La tensión media o hidrostática, $σ_{m}$ , es el promedio de las tensiones normales o el promedio de las tres tensiones principales ( $p$ es la presión normal media).

La tensión desviadora es lo que queda de la tensión total después de restar la componente hidrostática:

donde $𝐈$ es el tensor unitario 3x3 (matriz), y $δ_{i j}$ es la delta de Kronecker:

Nota: Los elementos fuera de la diagonal del desviador de tensiones son los mismos que los elementos correspondientes del tensor de tensiones. Es decir

Las componentes principales del tensor de tensiones desviadoras están dadas por:

A partir de estas definiciones, se puede demostrar fácilmente que la suma de las tensiones desviadoras principales es siempre cero:

Invariantes del Desviador de Tensiones

Cuando el desviador de tensiones se expresa en un sistema de coordenadas arbitrario ( $x, y, z$ ), sus valores principales se pueden encontrar como las raíces de la siguiente ecuación cúbica:

Los coeficientes $J_{2}$ y $J_{3}$ son los segundo y tercer invariantes del desviador de tensiones. Se llaman "invariantes" porque sus valores son independientes del sistema de coordenadas utilizado para describir el estado de tensiones. Estas cantidades son fundamentales en la teoría matemática de la plasticidad.

Los invariantes se pueden calcular a partir de las componentes del tensor de tensiones de la siguiente manera:

Primer invariante, $J_{1}$ :

Segundo invariante, $J_{2}$ :

Tercer invariante, $J_{3}$ :

También podemos demostrar que^[2]

J_{2} = - \frac{1}{3} I_{1}^{2} + I_{2}

J_{3} = I_{3} - \frac{1}{3} I_{1} I_{2} + \frac{3}{27} I_{1}^{3},

donde $I_{1}$ , $I_{2}$ e $I_{3}$ son los primer, segundo y tercer invariantes del tensor de tensiones.

Desviador de Deformaciones

Similar a como definimos el desviador de tensiones, podemos definir la deformación desviadora (o el desviador de deformaciones). Es decir, restando la deformación media del tensor de deformaciones $ϵ_{i j}$ , obtenemos el desviador de deformaciones :

Si el material es isótropo y obedece la ley de Hooke, tenemos

donde $G$ es el módulo de cizalladura.