True Strain and True Stress

La curva de tensión-deformación ingenieril no representa con precisión el comportamiento de deformación de un material porque se calcula utilizando las dimensiones originales de la probeta, las cuales cambian continuamente durante el ensayo. En operaciones de trabajo de metales como el trefilado, por ejemplo, el área transversal de la pieza de trabajo disminuye significativamente. Por lo tanto, es más significativo definir la tensión y la deformación basándose en las dimensiones instantáneas. Dado que los cambios dimensionales son mínimos dentro del rango elástico, esta distinción no era necesaria en la discusión previa.

Deformación verdadera vs Deformación ingenieril

La ecuación

donde $L_0$ es la distancia inicial entre dos marcas de referencia y $L$ es la distancia actual entre ellas, describe el concepto convencional de deformación lineal unitaria, es decir, el cambio de longitud referido a la longitud original unitaria.

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{1}{L_0}{\int }_{L_0}^{L}dL$$

Esta definición de deformación, denominada deformación ingenieril o deformación nominal, es satisfactoria para deformaciones elásticas donde $\mathrm{\Delta }L$ es muy pequeño. Sin embargo, en la deformación plástica las deformaciones son frecuentemente grandes, y durante la extensión la longitud calibrada cambia considerablemente. Ludwik en 1909 propuso por primera vez la definición de deformación verdadera, o deformación natural, $ϵ$, que evita esta dificultad. En esta definición de deformación, el cambio de longitud se refiere a la longitud calibrada instantánea, en lugar de la longitud calibrada original.

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La relación entre la deformación verdadera y la deformación lineal convencional se deduce de la Ec. (1).

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$e+1=\frac{L}{L_0}$$

Las dos mediciones de deformación dan resultados casi idénticos hasta deformaciones de aproximadamente 0.1.

Debido a que el volumen permanece esencialmente constante durante la deformación plástica, la Ec. (3) puede escribirse en términos de longitud o de área.

Además, debido a la constancia del volumen, la suma de las tres deformaciones principales es igual a cero.

Esta relación no es válida para las deformaciones convencionales principales.

La ventaja de utilizar la deformación verdadera debe ser evidente a partir del siguiente ejemplo:

Considere un cilindro uniforme que se extiende al doble de su longitud original. La deformación lineal es entonces $e=(2L_0-L_0)/L_0=1.0$, o una deformación del 100 por ciento. Para lograr la misma cantidad de deformación lineal negativa en compresión, el cilindro tendría que ser comprimido hasta un espesor cero. Sin embargo, intuitivamente deberíamos esperar que la deformación producida al comprimir un cilindro a la mitad de su longitud original sería la misma, aunque de signo opuesto, que la deformación producida al extender el cilindro al doble de su longitud. Si se utiliza la deformación verdadera, se obtiene equivalencia para los dos casos. Para la extensión al doble de la longitud original, $ϵ=\ln (2L_0/L_0)=\ln 2$. Para la compresión a la mitad de la longitud original,

$$ϵ=\ln [(L_0/2)/L_0]=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2.$$

Tensión verdadera vs Tensión ingenieril

Al analizar el comportamiento mecánico de los materiales, es crucial distinguir entre dos definiciones clave de tensión. Aunque estas dos medidas son casi idénticas en la región elástica donde las deformaciones son pequeñas, sus valores divergen significativamente durante la deformación plástica.

Curvas ingenieriles vs. verdaderas: Una comparación visual

La siguiente figura compara las curvas de tensión-deformación ingenieril y verdadera para dos aleaciones estructurales comunes. Vale la pena señalar varias características.

Las dos curvas para cada material quedan casi superpuestas en la región elástica (por debajo de aproximadamente 1% de deformación), lo que confirma que las medidas ingenieril y verdadera son intercambiables para pequeñas deformaciones. Una vez que comienza el flujo plástico significativo, las curvas divergen. Para el acero, la curva ingenieril alcanza un pico de aproximadamente 440 MPa (el UTS) cerca del 6% de deformación ingenieril y luego cae a aproximadamente 330 MPa en la fractura. La tensión verdadera en ese mismo punto de fractura es de aproximadamente 545 MPa (casi un 65% mayor) porque el área del cuello que se reduce rápidamente hace que σ = P/A aumente incluso cuando la carga P disminuye. El aluminio muestra el mismo comportamiento cualitativo, con la tensión verdadera de fractura
(aproximadamente 415 MPa) superando sustancialmente el UTS ingenieril (~310 MPa).

Derivación de la relación entre la tensión verdadera y la ingenieril

Podemos derivar una relación matemática directa para convertir la tensión ingenieril fácil de medir en la tensión verdadera más significativa físicamente. Esta conversión se basa en una suposición clave sobre el comportamiento del material durante la deformación plástica.

Comenzamos con la definición de tensión verdadera y utilizamos una manipulación algebraica simple para introducir el término de tensión ingenieril. Multiplicamos la ecuación por $A_0/A_0$, lo que equivale a multiplicar por uno:

$$\sigma =\frac{P}{A}=\frac{P}{A_0}\cdot \frac{A_0}{A}$$

Observe que el término $P/A_0$ es simplemente la definición de tensión ingenieril, $s$. Por lo tanto, podemos escribir:

$$\sigma =s\left(\frac{A_0}{A}\right)$$

Dado que el volumen de la probeta permanece constante durante los ensayos, tenemos A₀L₀ = AL y por lo tanto podemos escribir

$$\sigma =s\frac{L}{L_0}$$

Dado que

$$e=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$\Rightarrow \frac{L}{L_0}=1+e$$

obtenemos

1. La generalización 3D del concepto de tensión ingenieril se denomina primer esfuerzo de Piola-Kirchhoff. ↩
2. La tensión verdadera es lo que llamamos el esfuerzo de Cauchy. ↩