Viga en voladizo con carga en el extremo

Ahora analicemos los campos de tensión y desplazamiento en una viga en voladizo prismática sometida a una fuerza transversal concentrada. Este caso es fundamentalmente diferente de la flexión pura porque la presencia de una fuerza transversal requiere la existencia de una fuerza cortante interna que varía a lo largo de la longitud de la viga. Es este esfuerzo cortante el que resultará ser la fuente de la deformación no plana.

Considere una viga recta rectangular de longitud $L$ , altura $h$ y ancho $b$ . La viga está empotrada en el extremo $x = 0$ y libre en el extremo $x = L$ . Una fuerza vertical concentrada, $P$ , actúa hacia abajo en el extremo libre.

Paso 1: Suposiciones y condiciones de contorno

1. La suposición de tensión plana

Al igual que en el caso de flexión pura, la viga es esbelta y la carga está confinada al plano xy. Por lo tanto, asumimos un estado de tensión plana, donde las componentes de la tensión en la dirección z son despreciables: $σ_{z z} = σ_{x z} = σ_{y z} = 0$

2. Formulación de las condiciones de contorno

En las superficies superior e inferior ( $y = \pm h / 2$ ): Estas superficies están libres de cualquier carga aplicada. $σ_{y} |_{y = \pm h / 2} = 0$ $τ_{x y} |_{y = \pm h / 2} = 0$
En el extremo libre ( $x = 0$ ): La distribución de tensiones debe ser estáticamente equivalente a una fuerza vertical hacia abajo P .
- Fuerza axial neta nula: $\int_{- h / 2}^{h / 2} (σ_{x x})_{x = 0} \cdot \overset{d A}{\overset{⏞}{b d y}} = 0$
- Momento flector neto nulo: El momento en el extremo libre es cero. $\int_{- h / 2}^{h / 2} (σ_{x x})_{x = 0} \cdot y \overset{d A}{\overset{⏞}{b d y}} = 0$
- Fuerza cortante neta: La fuerza vertical resultante debe ser igual a $- P$ . $\int_{- h / 2}^{h / 2} (σ_{x y})_{x = 0} \cdot b d y = - P$
En el extremo empotrado ( $x = L$ ): Aquí los desplazamientos y la rotación son cero. Usaremos estas condiciones más adelante al encontrar el campo de desplazamientos.

Paso 2: Resolución con la función de tensión de Airy

Dado que el momento flector es $M (x) = P x$ , y según la resistencia de materiales, sabemos $σ_{x} = - \frac{M (x) y}{I} = \frac{P x y}{I}$ y $σ_{x} = \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{2}}$ , esperamos que $ϕ$ contenga un término de la forma $\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} = c x y$

Integrando con respecto a y se obtiene

$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = \frac{1}{2} C x y^{2} + f_{1} (x)$

Integrando de nuevo con respecto a y se obtiene

$ϕ = \frac{1}{6} C x y^{3} + f_{1} (x) y + f_{2} (x) .$

Sabemos que $ϕ$ debe satisfacer $\nabla^{4} ϕ = 0$ o

$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = 0.$

La sustitución de $ϕ$ en la ecuación anterior da

$f_{1}^{(4)} (x) y + f_{2}^{(4)} (x) = 0$

Dado que esta ecuación debe cumplirse para todo valor de y, debemos tener

$f_{1}^{(4)} (x) = 0 y f_{2}^{(4)} (x) = 0$

Esto significa

$f_{1} (x) = C_{2} x^{3} + C_{3} x^{2} + C_{4} x + C_{5}$

$f_{2} (x) = C_{6} x^{3} + C_{7} x^{2} + C_{8} x + C_{9}$

$ϕ (x, y) = C_{1} x y^{3} + (C_{2} x^{3} + C_{3} x^{2} + C_{4} x + C_{5}) y + (C_{6} x^{3} + C_{7} x^{2} + C_{8} x + C_{9}) .$

Donde $C_{1} = \frac{1}{6} C$ .

Recordemos que los términos constantes y lineales no contribuyen a la componente de la tensión, por lo que podemos establecer

$C_{5} = C_{8} = C_{9} = 0$

$ϕ (x, y) = C_{1} x y^{3} + (C_{2} x^{3} + C_{3} x^{2} + C_{4} x) y + C_{6} x^{3} + C_{7} x^{2} .$

Para determinar los coeficientes, apliquemos las condiciones de contorno en las superficies superior e inferior:

Dado que estas ecuaciones deben cumplirse para todo valor de x, debemos tener:

Por lo tanto

$ϕ = C_{1} x y^{3} - \frac{3 C_{1} h^{2}}{4} x y$

Para determinar $C_{1}$ , usamos la condición

$\int_{- h / 2}^{h / 2} b τ_{x y} d y = - P$

Esto da

$b C_{1} \frac{h^{3}}{2} = P \Rightarrow C_{1} = \frac{2 P}{b h^{3}}$ Dado que $I = \frac{1}{12} b h^{3}$ , podemos escribir

$C_{1} = \frac{2 P}{12 \cdot \frac{b h^{3}}{12}} = \frac{P}{6 I}$

$ϕ (x, y) = \frac{P}{6 I} x y^{3} - \frac{3 \cdot P \cdot h^{2}}{24 I} x y .$

Ahora podemos calcular fácilmente las componentes de la tensión:

Este campo de tensiones satisface el equilibrio y todas las condiciones de contorno en las superficies superior, inferior y en el extremo libre.

Paso 3: Derivación del campo de desplazamientos ( $u$ , $v$ )

Ahora integramos las relaciones deformación-desplazamiento usando el campo de tensiones correcto.

1. Encontrar las deformaciones (tensión plana)

$ϵ_{x x} = \frac{σ_{x x}}{E} = \frac{P x y}{E I}$ $ϵ_{y y} = - \frac{ν σ_{x x}}{E} = - \frac{ν P x y}{E I}$ $γ_{x y} = \frac{σ_{x y}}{G} = \frac{P}{2 G I} [{(\frac{h}{2})}^{2} - y^{2}]$

2. Integrar las relaciones deformación-desplazamiento

Integrando

ϵ_{x x} = \frac{\partial u}{\partial x}

u (x, y) = \int \frac{P x y}{E I} d x = \frac{P x^{2} y}{2 E I} + f (y)

Integrando

ϵ_{y y} = \frac{\partial v}{\partial y}

v (x, y) = \int - \frac{ν P x y}{E I} d y = - \frac{ν P x y^{2}}{2 E I} + g (x)

Usando la relación de deformación cortante

γ_{x y} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0

Reordenando para separar variables:

Dado que el lado izquierdo depende solo de

x

y el derecho solo de

y

, ambos deben ser iguales a una constante,

k

. Resolviendo para

g (x)

f (y)

obtenemos

⟹ f (y) = ν \frac{P y^{3}}{6 E I} - \frac{P y^{3}}{6 G I} + \frac{P h^{2} y}{8 G I} - k y + n .

Por lo tanto:

3. Aplicar las condiciones de contorno del extremo empotrado

En el extremo empotrado, la viga está completamente restringida. Imponemos que el centroide del extremo empotrado no se traslade y que la pendiente del eje neutro sea cero.

Condición 1: Sin desplazamiento horizontal en el extremo empotrado $u (L, 0) = 0 ⟹ n = 0$
Condición 2: Sin desplazamiento vertical en el extremo empotrado: $v (L, 0) = 0 ⟹ m = - k L - \frac{P L^{3}}{6 E I} .$ Necesitamos una condición más para determinar k.
Condición 3: Sin rotación de la viga alrededor del extremo empotrado. Tenemos dos opciones:
1. Pendiente cero del eje neutro en el extremo empotrado. ${(\frac{\partial v}{\partial x})}_{x = L, y = 0} = 0$
2. Rotación cero del elemento vertical de la sección transversal en el centroide de la sección del extremo. ${(\frac{\partial u}{\partial y})}_{x = L, y = 0} = 0.$ Apliquemos la condición ${(\frac{\partial v}{\partial x})}_{x = L, y = 0} = 0$ . La derivada de $v$ con respecto a $x$ es: $\frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{ν P y^{2}}{2 E I} - \frac{P x^{2}}{2 E I} + k$ Sustituyendo 0 por y y L por x, e igualando la expresión anterior a cero, obtenemos $k = \frac{P L^{2}}{2 E I}$ y $m = - \frac{P L^{3}}{2 E I} + \frac{P L^{3}}{6 E I} = - \frac{P L^{3}}{3 E I}$ . Por lo tanto,

La deflexión máxima ocurre en el extremo libre ( $x = 0$ ) y es igual a $\frac{P L^{3}}{3 E I}$ , el resultado familiar de la resistencia de materiales.

Distorsión de la sección transversal

Una idea clave de la solución elástica es que los planos de la sección transversal, inicialmente planos y perpendiculares al eje neutro, no permanecen planos después de la deformación cuando hay tensiones cortantes presentes. Este comportamiento contrasta con la suposición de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, que supone que “las secciones planas permanecen planas”. La figura siguiente ilustra la distorsión resultante de la sección transversal del extremo.