Tracción Uniaxial

Considere un problema bidimensional de tensión plana que involucra una viga rectangular larga sometida a fuerzas de tracción uniformes $p$ en ambos extremos, como se muestra a continuación.

Este caso puede considerarse como una aproximación de Saint-Venant de una situación más general con carga no uniforme en los extremos. En esta interpretación, las tracciones reales distribuidas en los extremos se reemplazan por fuerzas uniformes estáticamente equivalentes, y la solución resultante es válida en regiones suficientemente alejadas de los extremos cargados.

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno para este problema pueden escribirse como

$$({\sigma }_x{)}_{x=\pm L}=p,({\sigma }_y{)}_{y=\pm h}=0,({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h}=({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L}=0.$$

Función de tensión de Airy

Debido a que las tracciones en los bordes son constantes a lo largo de cada borde, esperamos que el campo de tensiones sea uniforme. Por lo tanto, podemos asumir una función de tensión de Airy de segundo orden de la forma

$$\varphi =a_{02}{y}^2.$$

A partir de esta expresión, las componentes de tensión resultan

$${\sigma }_x=2a_{02},{\sigma }_y=0,{\tau }_{xy}=0.$$

Aplicando la condición de contorno ${\sigma }_x=p$ en $x=\pm l$ se obtiene

$$a_{02}=\frac{p}{2}.$$ y $$\varphi =\frac{p}{2}{y}^2.$$ Por lo tanto, el campo completo de tensiones es

$${\sigma }_x=p,{\sigma }_y={\tau }_{xy}=0.$$

Todas las condiciones de contorno se satisfacen idénticamente, y este campo uniforme representa un estado de tracción uniaxial.

Campo de desplazamientos asociado

A continuación, determinamos el campo de desplazamientos correspondiente a este estado de tensión uniforme.
Usando la ley de Hooke para tensión plana, las deformaciones vienen dadas por $${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)=\frac{p}{E},{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)=-\frac{\nu p}{E}.$$ $${\tau }_{xy}=0$$

De las relaciones deformación-desplazamiento, $${\epsilon }_x=\frac{\partial u}{\partial x},{\epsilon }_y=\frac{\partial v}{\partial y},$$ obtenemos los gradientes de desplazamiento: $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{p}{E},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\nu p}{E}.$$

Integrando estas expresiones respecto a sus respectivas variables se obtiene $$u=\frac{p}{E}x+f(y),v=-\frac{\nu p}{E}y+g(x),$$

donde $f(y)$ y $g(x)$ son “constantes” de integración y se determinarán a partir de la relación de deformación cortante.

Determinación de f(y) y g(x)

Para tensión plana, la deformación cortante está relacionada con los desplazamientos mediante $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Dado que ${\tau }_{xy}=0$, la ley de Hooke da ${\gamma }_{xy}=0$, y por lo tanto $$\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$

Sustituyendo las expresiones para u y v se obtiene

Debido a que cada lado depende de una variable diferente, ambos deben ser constantes:

Integrando, encontramos $$f(y)=-cy+u_0,g(x)=cx+v_0,$$

donde $c$ representa una rotación de sólido rígido, y $u_0,v_0$ son traslaciones rígidas en las direcciones $x$ e $y$, respectivamente.

Forma final del campo de desplazamientos

Sustituyendo estas expresiones en los resultados anteriores se obtiene el campo completo de desplazamientos: $$u=\frac{p}{E}x-cy+u_0,v=-\frac{\nu p}{E}y+cx+v_0.$$

Las constantes $c,u_0,$ y $v_0$ corresponden a un movimiento de sólido rígido y no contribuyen a la deformación ni a la tensión. Por lo tanto, los desplazamientos físicos se determinan solo hasta una traslación y rotación arbitrarias de sólido rígido.

Para determinar $c,u_0$ y $v_0$, necesitamos aplicar una condición adicional. Por ejemplo, podemos asumir que el centro de la viga no se mueve: $u(0,0)=v(0,0)=0$.