Tensión Plana

El esfuerzo plano es una simplificación en elasticidad utilizada para modelar cuerpos donde

1. una dimensión (espesor) es mucho más pequeña que las otras dos, como placas delgadas o cascarones
2. fuerzas actuando solo en ese plano.

Sea el plano de la estructura el $xy$-plano, y la dirección del espesor el $z$-eje.

1. Hipótesis principales

La formulación del esfuerzo plano consiste en las siguientes hipótesis fundamentales sobre el estado tensional:

1. Las fuerzas de tracción en las superficies (en $z=\pm h/2$) son cero.
2. Debido a que la placa es delgada, se supone que no hay espacio para desarrollar esfuerzos internos significativos en la dirección $z$, ni esfuerzos cortantes asociados con la cara $z$.

Matemáticamente, esto dicta: $${\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0$$ En consecuencia, las componentes de esfuerzo no nulas (${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$) se suponen funciones solo de $x$ e $y$, y son uniformes a lo largo del espesor.

2. La inconsistencia matemática

Si bien la simplificación del esfuerzo plano es muy útil y precisa para componentes ingenieriles delgados, contiene una inconsistencia teórica cuando se analiza estrictamente mediante la teoría tridimensional completa de la elasticidad. Esta inconsistencia surge de la relación entre esfuerzo, deformación y compatibilidad de desplazamientos.

El efecto Poisson y la deformación fuera del plano

Aunque se supone que el esfuerzo fuera del plano ${\sigma }_{zz}$ es cero, la deformación fuera del plano ${ϵ}_{zz}$ no es cero debido al efecto Poisson. Usando la ley de Hooke generalizada:

$${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$$

Como ${\sigma }_{zz}=0$, esto se reduce a: $${ϵ}_{zz}=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$

Debido a que ${\sigma }_{xx}$ y ${\sigma }_{yy}$ varían con $x$ e $y$, ${ϵ}_{zz}$ también varía a lo largo del plano de la placa. Esto significa que la placa cambia de espesor de manera no uniforme.

El conflicto con la compatibilidad

De las relaciones deformación-desplazamiento, ${ϵ}_{zz}={\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}}$ (donde $w$ es el desplazamiento en la dirección $z$). Integrando ${ϵ}_{zz}$ respecto a $z$ (suponiendo simetría respecto al plano medio $z=0$) se obtiene: $$w=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})z$$ Dado que $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ es una función de $x$ e $y$, entonces $w$ es una función de $x,y,$ y $z$. En consecuencia, las derivadas ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ y ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ son generalmente no nulas.

Ahora observe las deformaciones cortantes transversales, que deben ser cero basándose en la suposición de esfuerzo (${\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$): $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

Si ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ y ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ son no nulas, entonces para que estas deformaciones cortantes permanezcan cero, los desplazamientos en el plano $u$ y $v$ deben depender de $z$.

Conclusión sobre la inconsistencia

La suposición de que los esfuerzos en el plano son independientes de $z$ contradice el requisito de compatibilidad de deformaciones. Un estado tensional con ${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$ en todas partes generalmente no es posible a menos que $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ sea constante o lineal en $x$ e $y$. Por lo tanto, el esfuerzo plano se considera una solución aproximada. En realidad, los esfuerzos supuestos se tratan como valores promedio a través del espesor de la placa.

3. Ecuaciones e incógnitas

A pesar de la inconsistencia teórica respecto a la dirección $z$, el problema 2D de esfuerzo plano es matemáticamente determinado. Nos centramos solo en las variables en el plano $xy$.

Las incógnitas (Total: 8)

Para resolver completamente el problema de campo 2D, necesitamos determinar 8 variables de campo (todas funciones de $x$ e $y$):

• Desplazamientos (2): $u(x,y),v(x,y)$
• Deformaciones (3): ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$
• Esfuerzos (3): ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$

Las ecuaciones gobernantes (Total: 8)

Para resolver estas 8 incógnitas, utilizamos 8 ecuaciones fundamentales de elasticidad (despreciando las fuerzas de cuerpo por simplicidad):

1. Ecuaciones de equilibrio (2): Derivadas de la segunda ley de Newton (estática). $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. Ecuaciones cinemáticas (deformación-desplazamiento) (3): Basadas en la geometría de la deformación. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. Ecuaciones constitutivas (Ley de Hooke para esfuerzo plano) (3): Relacionando esfuerzo con deformación. Nótese la modificación de $E$ debido a la condición ${\sigma }_{zz}=0$. $${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}({\sigma }_{xx}-\nu {\sigma }_{yy})$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}({\sigma }_{yy}-\nu {\sigma }_{xx})$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\sigma }_{xy}(\text{where }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

Dado que hay 8 incógnitas y 8 ecuaciones independientes, el sistema está cerrado y es resoluble, siempre que se apliquen condiciones de contorno apropiadas.