Flexión Pura

Ahora aplicaremos el método de la función de tensión de Airy a uno de los problemas más fundamentales en mecánica de sólidos: determinar el estado de tensión dentro de una viga prismática sometida a un momento flector puro. Si bien la solución es bien conocida en mecánica de materiales elemental, obtenerla a través de la teoría de la elasticidad proporciona una validación más rigurosa del resultado y destaca las suposiciones involucradas.

Considere una viga recta rectangular de longitud $L$, altura $h$ y ancho $b$. Establecemos un sistema de coordenadas con el eje x a lo largo del eje centroidal de la viga, y el eje y en la dirección de su altura. La viga ocupa la región definida por $-L/2\le x\le L/2$ y $-h/2\le y\le h/2$. La viga está sometida a un momento flector puro, $M$, en ambos extremos.

Paso 1: Suposiciones y condiciones de contorno

Antes de buscar una solución, es imperativo establecer nuestras suposiciones iniciales y luego definir con precisión las condiciones que nuestro campo de tensiones debe satisfacer en todas las superficies del cuerpo.

1. La suposición de tensión plana

Una viga típica es una estructura que es larga en relación con sus dimensiones transversales, y su ancho ($b$) a menudo es comparable o no dramáticamente mayor que su altura ($h$). Además, está cargada solo en el plano xy. Debido a que la viga no es muy gruesa en la dirección z (el ancho) y no hay fuerzas aplicadas en las caras en $z=\pm b/2$, es físicamente razonable suponer que las componentes de tensión que actúan en la dirección z son despreciables en todo el cuerpo. Por lo tanto, suponemos: $${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$$ Esta es precisamente la definición de un estado de tensión plana. Esta suposición nos permite usar el marco de elasticidad bidimensional que hemos desarrollado.

2. Formulación de las condiciones de contorno

Ahora podemos enunciar las condiciones en los contornos de nuestro modelo 2D.

• Condiciones en las superficies superior e inferior ($y=\pm h/2$): Las superficies superior e inferior están libres de fuerzas aplicadas. Esto significa que no puede haber tensión normal (sin presión vertical) ni tensión cortante (sin fricción horizontal) actuando sobre estas superficies. $$({\sigma }_y{)}_{y=h/2}=0$$ $$({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h/2}=0$$
• Condiciones en los extremos ($x=\pm L/2$): La resultante de la distribución de tensiones en cada extremo debe ser equivalente a un momento puro, $M$. Esto implica tres condiciones integrales distintas:
  • Sin fuerza axial neta: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}bdy=0$$
  • Sin fuerza cortante neta: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L/2}\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • Momento flector neto: Adoptando la convención de que un $M$ positivo causa tracción para : $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}\cdot y\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=-M$$

Paso 2: Proponer una forma para la función de tensión de Airy

Con nuestras condiciones especificadas, ahora buscamos una función de tensión de Airy $\varphi$ que satisfaga la ecuación biarmónica, ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$.

Supongamos que ${\sigma }_y=0$ en todas partes, no solo en los contornos. Pero, ¿por qué? He aquí la línea de razonamiento:

1. Sabemos por las condiciones de contorno que ${\sigma }_y=0$ en las superficies superior e inferior ($y=\pm h/2$).
2. No hay fuerzas de cuerpo (como la gravedad) actuando en la dirección y dentro de la viga.
3. No hay ningún mecanismo en este problema de flexión pura que sugiera que deba desarrollarse una tensión vertical internamente.
4. Por lo tanto, podemos proponer que la solución más simple posible que satisface las condiciones de contorno es aquella donde ${\sigma }_y$ y ${\tau }_{xy}$ son cero en todas partes dentro de la viga, no solo en las superficies.

Pongamos a prueba esta hipótesis. Si este estado de tensión simple puede hacerse para satisfacer todas las condiciones de contorno restantes, entonces por el principio de unicidad de la solución en elasticidad, debe ser la solución correcta.

Traduciendo esta hipótesis en condiciones sobre $\varphi$:

• Si ${\sigma }_y={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}}=0$ en todas partes, entonces $\varphi$ puede ser a lo sumo una función lineal de $x$. Se puede escribir como $\varphi (x,y)=xf(y)+g(y)$.
• Si ${\tau }_{xy}=-{\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}}=0$ en todas partes, entonces la derivada de nuestra forma para $\varphi$ debe ser cero: $-\frac{\partial }{\partial y}(f(y))=0$. Esto implica que $f(y)$ debe ser una constante.
• Combinando estas, nuestra función debe tener la forma $\varphi (x,y)=(\text{constante})\cdot x+g(y)$. Sin embargo, el problema de flexión es simétrico respecto a $x=0$, por lo que esperamos que las tensiones sean independientes de $x$. Una tensión constante del término $x$ violaría la condición de momento. La forma más simple posible que respeta la física es asumir que $\varphi$ es una función solo de $y$.

Por lo tanto, proponemos un polinomio en $y$ como nuestra solución candidata: $$\varphi (y)=A{y}^3+B{y}^2+Cy+D$$ Este es un polinomio de tercer grado, por lo que satisface automáticamente la ecuación biarmónica ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$.

Paso 3: Aplicación de las condiciones de contorno a la solución propuesta

Encontremos las tensiones a partir de nuestra $\varphi$ propuesta y veamos si pueden satisfacer todas las condiciones. $${\sigma }_x=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=6Ay+2B$$ $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=0$$ $${\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=0$$ Nuestra hipótesis satisface inmediatamente las condiciones para ${\sigma }_y$ y ${\tau }_{xy}$ en las superficies superior e inferior, y también satisface la condición de fuerza cortante neta nula en los extremos. Ahora verificamos las dos condiciones restantes de los extremos para encontrar las constantes A y B.

Aplicando la condición de fuerza axial nula: $${\int }_{-h/2}^{h/2}{\sigma }_x(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay+2B)bdy=b{[3A{y}^2+2By]}_{-h/2}^{h/2}=2Bbh=0$$ Dado que $b$ y $h$ no son cero, esto requiere que B = 0.

Aplicando la condición de momento flector neto: Con B=0, nuestra tensión normal es ahora simplemente ${\sigma }_x=6Ay$. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x\cdot y)(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay\cdot y)bdy=6Ab{\int }_{-h/2}^{h/2}{y}^{2}dy=-M$$ $$6Ab{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_{-h/2}^{h/2}=2Ab((h/2{)}^3-(-h/2{)}^3)=\frac{Ab{h}^3}{2}=-M$$ Ahora podemos resolver para la constante A: $$A=-\frac{2M}{b{h}^3}$$ Recordando que el momento de inercia para una sección transversal rectangular es $I={\displaystyle \frac{b{h}^3}{12}}$, podemos escribir A en términos de I: $$A=-\frac{2M}{12I}=-\frac{M}{6I}$$

Paso 4: La solución final y verificación

Hemos encontrado con éxito todos los coeficientes basados en nuestra hipótesis inicial. La función de tensión de Airy para flexión pura es: $$\varphi (y)=-\frac{M}{6I}{y}^3$$ A partir de esta función, derivamos las componentes de tensión finales: $${\sigma }_x=-\frac{M}{I}y$$ $${\sigma }_y=0$$ $${\tau }_{xy}=0$$ Esta solución, derivada de nuestra conjetura fundamentada de que ${\sigma }_y$ y ${\tau }_{xy}$ eran cero en todas partes, satisface con éxito todas las condiciones de contorno del problema. Esto justifica nuestra hipótesis inicial y proporciona la fórmula clásica de flexión, derivada rigurosamente de la teoría de la elasticidad.

Paso 3: Derivando el campo de desplazamiento ($u$, $v$)

Para encontrar los desplazamientos, debemos integrar las relaciones deformación-desplazamiento, usando las deformaciones determinadas a partir de nuestro campo de tensiones mediante la Ley de Hooke para tensión plana.

1. Hallar las deformaciones: $${ϵ}_{xx}=\frac{{\sigma }_{xx}}{E}=-\frac{My}{EI}$$ $${ϵ}_{yy}=-\frac{\nu {\sigma }_{xx}}{E}=\frac{\nu My}{EI}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{G}=0$$

2. Integrar las relaciones deformación-desplazamiento: Comenzamos con ${ϵ}_{xx}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$. Integrando con respecto a $x$ da: $$u(x,y)=\int -\frac{My}{EI}dx=-\frac{Mxy}{EI}+f(y)$$ donde $f(y)$ es una función arbitraria de $y$ que actúa como una “constante” de integración.

A continuación, de ${ϵ}_{yy}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$: $$v(x,y)=\int \frac{\nu My}{EI}dy=\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x)$$ donde $g(x)$ es una función arbitraria de $x$.

3. Usar la deformación cortante para acoplar las ecuaciones: Usamos la relación final, ${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0$, para encontrar las funciones desconocidas $f(y)$ y $g(x)$. $$\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{Mxy}{EI}+f(y))+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x))=0$$ Reordenando esta ecuación para separar variables: El lado izquierdo es una función solo de $x$, mientras que el lado derecho es una función solo de $y$. La única forma en que esta igualdad puede cumplirse para todo $x$ e $y$ es que ambos lados sean iguales a la misma constante, digamos $C_1$.

4. Ensamblar y restringir el movimiento de cuerpo rígido: Sustituyendo estos de vuelta, el campo de desplazamiento general es: $$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}-C_{1}y+C_3$$ $$v(x,y)=-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}-\frac{M{x}^2}{2EI}+C_{1}x+C_2$$ Las constantes $C_1,C_2,C_3$ representan el movimiento de cuerpo rígido. Para encontrarlas, debemos fijar la viga en el espacio. Imponemos que el origen ($x=0,y=0$) no se traslade, y que la pendiente del eje neutro sea cero en el origen. * $u(0,0)=0⟹C_3=0$ * $v(0,0)=0⟹C_2=0$ * ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}{|}_{x=0,y=0}={[-{\displaystyle \frac{Mx}{EI}}+C_1]}_{x=0}=C_1=0$

Las tres constantes son cero. El campo de desplazamiento final es: $$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}$$ $$v(x,y)=-\frac{M{x}^2}{2EI}-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}$$