Flexión de una viga por carga transversal uniforme

Considere una viga simplemente apoyada de longitud $L$, altura $h$ y ancho $b$. La viga está sometida a una carga transversal uniforme de intensidad (fuerza por unidad de longitud) $w$. La intensidad de la fuerza (fuerza por unidad de área) es $q={\displaystyle \frac{w}{b}}$.

Coloquemos el origen del sistema de coordenadas en el centro de la viga. El eje x recorre el eje neutro a lo largo de la longitud de la viga, y el eje y recorre verticalmente. Las superficies superior e inferior se encuentran en $y=\pm h/2$.

Las condiciones de contorno en los bordes superior e inferior de la viga son: Las condiciones en los extremos $x=\pm L/2$ especifican las fuerzas resultantes. La fuerza cortante total debe igualar la reacción en los apoyos ($V=\pm wL/2$): No hay fuerza normal neta en los extremos: Y, debido a que la viga está simplemente apoyada, no hay momento flector en los extremos:

De la teoría elemental de resistencia de materiales, sabemos que ${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}$. Dado que el momento flector $M(x)$ para esta carga es cuadrático en $x$, esperamos que ${\sigma }_x$ contenga un término proporcional a $x^{2}y$. Dado que ${\sigma }_x={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}}$, esto sugiere que $\varphi$ debería contener un término de la forma: $$c_1{x}^2{y}^3$$ Este término por sí solo daría componentes de tensión $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=2c_1{y}^3\text{y}{\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=-6c_{1}x{y}^2.$$ Estas expresiones no satisfacen las condiciones de contorno (i) por sí solas.

Para satisfacer las condiciones ${\sigma }_y{|}_{y=-h/2}=0$ y ${\sigma }_y{|}_{y=h/2}=-q$, necesitamos agregar términos de la forma $\alpha y+b$ a ${\sigma }_y$. Esto requiere que $\varphi$ contenga términos de la forma $$c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2.$$

Probemos una función de tensión de la forma: $$\varphi =c_1{x}^2{y}^3+c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2$$ Imponiendo las condiciones de contorno (i) para ${\sigma }_y$ y ${\tau }_{xy}$ (lo que también requiere términos de esta forma de $\varphi$) se obtiene: $$c_1=\frac{q}{h^3},c_2=-\frac{3q}{4h},c_3=-\frac{q}{4}$$ y por lo tanto $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2$$ Sin embargo, esta función no satisface la ecuación biarmónica ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$. De hecho: $${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^4}\left(\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3\right)=\frac{24q}{h^3}y$$ Para hacer que la función de tensión sea biarmónica, debemos agregar un término que cancele este resultado. Un término de la forma $c_4{y}^5$ funcionará. Sustituyendo $\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2+c_4{y}^5$ en la ecuación biarmónica, obtenemos: $$\frac{24q}{h^3}y+\frac{{\partial }^4}{\partial y^4}(c_4{y}^5)=\frac{24q}{h^3}y+120c_{4}y=0$$ Por lo tanto, debemos tener: $$c_4=-\frac{24q}{120h^3}=-\frac{q}{5h^3}$$ La función de tensión de Airy mejorada es: $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5$$ Esta función de tensión proporciona las siguientes componentes de tensión: Estas componentes de tensión satisfacen las condiciones (i), (ii) y (iii). Sin embargo, la condición (iv) (momento nulo en los extremos) se viola. El momento en $x=\pm L/2$ es: Para cancelar este momento no deseado, debemos agregar un término de corrección a $\varphi$ que produzca un momento igual y opuesto. Un término de la forma $c_5{y}^3$ representa un estado de flexión pura. Agregando ${\varphi }_{corr}=c_5{y}^3$ se obtiene ${\sigma }_{x,corr}=6c_{5}y$. El momento producido es $M_{corr}={\int }_{-h/2}^{h/2}by(6c_{5}y)dy=\frac{b{c}_5{h}^3}{2}$. Estableciendo $M+M_{corr}=0$ se obtiene: $$c_5=-\frac{2}{b{h}^3}\left[bq(\frac{L^2}{8}-\frac{h^2}{20})\right]=\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})$$ Finalmente, nuestra función de tensión de Airy completa es: $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5+\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})y^3$$ Obsérvese que el término $y^3$ agregado satisface automáticamente la ecuación biarmónica y no contribuye a ${\sigma }_y$ ni a ${\tau }_{xy}$, por lo que las condiciones (i), (ii) y (iii) siguen satisfaciéndose.

Las componentes finales de tensión son: Reemplazando $q$ por $w/b$ y observando que el momento de inercia es $I=\frac{1}{12}b{h}^3$, la expresión para ${\sigma }_x$ puede reescribirse. El momento flector de la teoría elemental es $$M(x)=\frac{w}{2}(\frac{L^2}{4}-x^2).$$ Y $${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}+\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y).$$ El primer término es exactamente el resultado de la teoría elemental de vigas de Euler-Bernoulli. El segundo término es la corrección proporcionada por la teoría de la elasticidad. Este término de corrección no depende de $x$ y es pequeño si la viga es esbelta (es decir, su canto $h$ es pequeño en comparación con su luz $L$).

La solución es exacta si, en los extremos $x=\pm L/2$, las fuerzas normales ${\sigma }_x$ se distribuyen de acuerdo con la ley dada por el término de corrección: $${\sigma }_x{|}_{x=\pm L/2}=\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y)$$ Estas fuerzas no tienen fuerza neta equivalente ni momento neto equivalente. Por lo tanto, de acuerdo con el principio de Saint-Venant, la distribución real de ${\sigma }_x$ estará muy cerca de esta solución a distancias de los extremos mayores que el canto de la viga, independientemente de cómo se realicen realmente los apoyos.

La diferencia entre los resultados de la resistencia de materiales y la elasticidad surge del hecho de que la teoría elemental supone que las fibras longitudinales están en tracción o compresión puras (${\sigma }_y=0$). Sin embargo, la solución de elasticidad muestra que existen tensiones de compresión entre las fibras.

La fórmula para ${\tau }_{xy}$ coincide con la que se obtiene de la fórmula de resistencia de materiales ${\tau }_{xy}=\frac{VQ}{Ib}$.