El método de la función de esfuerzo

Si las componentes de la tensión pueden expresarse en términos de una única función escalar ϕ(x,y), entonces las correspondientes componentes de deformación y desplazamiento pueden igualmente escribirse en términos de la misma función. En consecuencia, el número de incógnitas en el problema de elasticidad bidimensional se reduce a uno. Este enfoque, introducido por George Biddell Airy en 1862, hace uso de una función ϕ(x,y) conocida como la función de tensión de Airy.

Definición y las ecuaciones de equilibrio

La función de tensión de Airy, denotada por ϕ(x,y), se define de manera que las componentes de la tensión se derivan de sus segundas derivadas parciales:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
si no hay fuerzas de cuerpo.

Razón detrás de la forma de la función de tensión de Airy

Si tenemos un par de funciones f(x, y) y g(x, y) relacionadas por

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y},

y si encontramos una función escalar

U (x, y)

tal que

f = \frac{\partial U}{\partial y}, g = \frac{\partial U}{\partial x} .

debido a que las derivadas parciales mixtas de U son iguales (

\frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x}

), entonces la relación anterior se satisface automáticamente. Esta observación proporciona una analogía útil para formular problemas de elasticidad en términos de funciones potenciales.

Para un problema bidimensional sin fuerzas de cuerpo, las ecuaciones de equilibrio son
$\frac{\partial σ_{x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y} = 0, \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} = 0.$
A partir de la primera de ellas, introducimos una función $A (x, y)$ tal que
$σ_{x} = \frac{\partial A}{\partial y}, τ_{x y} = - \frac{\partial A}{\partial x},$
y de la segunda ecuación, otra función $B (x, y)$ tal que
$σ_{y} = \frac{\partial B}{\partial x}, τ_{x y} = - \frac{\partial B}{\partial y} .$
Porque
$- τ_{x y} = \frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial B}{\partial y},$
las funciones A y B pueden relacionarse a través de otra función escalar ϕ(x, y) tal que
$A = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, B = \frac{\partial ϕ}{\partial x} .$
Sustituyendo esto en las definiciones anteriores se obtienen las componentes de la tensión directamente en términos de ϕ:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = -, \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x, \partial y} .$

La función escalar $ϕ (x, y)$ , conocida como la función de tensión de Airy, genera así todas las componentes de la tensión en el plano a través de sus segundas derivadas.

La brillantez de esta definición es que las ecuaciones de equilibrio se satisfacen automáticamente para cualquier función

ϕ

que tenga segundas derivadas continuas.

Sustituir estas definiciones en la primera ecuación de equilibrio lo demuestra:

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}) + \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial x \partial y^{2}} - \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial y \partial x \partial y} = 0$

La segunda ecuación de equilibrio se satisface de la misma manera. Esta es una ventaja significativa: cualquier campo de tensiones derivado de una función de Airy está garantizado que está en equilibrio.

Compatibilidad, leyes constitutivas y la ecuación biarmónica

Mientras se satisface el equilibrio, el campo de deformación resultante también debe ser compatible, lo que significa que debe corresponder a una deformación física continua. Este requisito físico se captura mediante la ecuación de compatibilidad de deformaciones:

$\frac{\partial^{2} ϵ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ϵ_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} γ_{x y}}{\partial x \partial y}$

Para continuar, debemos conectar las deformaciones con las tensiones usando la ley constitutiva del material. Para un material isótropo linealmente elástico, esta es la ley de Hooke. Aquí debemos distinguir entre dos tipos de análisis bidimensional.

Derivación de la ecuación biarmónica

Derivemos la ecuación gobernante para $ϕ$ usando la tensión plana.¹ Comenzamos sustituyendo la ley de Hooke en la ecuación de compatibilidad de deformaciones:
$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{x} - ν σ_{y})] + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{y} - ν σ_{x})] = \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} [\frac{τ_{x y}}{G}]$
Multiplicando por $E$ y reordenando los términos se obtiene:
$(\frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial x^{2}}) - ν (\frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial x^{2}}) = \frac{E}{G} \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y} = 2 (1 + ν) \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y}$
Ahora, sustituimos las definiciones de la función de tensión de Airy ( $σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}$ , $σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}$ , $τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$ ):
$(\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}}) - ν (\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{2} \partial x^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}) = - 2 (1 + ν) \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Simplificando la expresión:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Los términos que incluyen $ν$ en ambos lados se cancelan, dejando:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Reordenando se obtiene la célebre ecuación biarmónica:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = 0$
Esta ecuación puede escribirse de forma compacta como $\nabla^{4} ϕ = 0$ . Notablemente, si se realiza la misma derivación usando las leyes constitutivas de deformación plana, el resultado es exactamente la misma ecuación biarmónica.

Incorporación de fuerzas de cuerpo

1. El caso específico de la gravedad

Considere un cuerpo donde su propio peso es la única fuerza de cuerpo actuante. Con el eje y apuntando verticalmente hacia arriba, las componentes de la fuerza de cuerpo son $B_{x} = 0$ y $B_{y} = - ρ g$ . Para satisfacer las ecuaciones de equilibrio modificadas, ajustamos las definiciones de tensión:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + ρ g y, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + ρ g y, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
Cuando estas definiciones se usan en la derivación de compatibilidad, los términos adicionales $ρ g y$ se cancelan. La ecuación gobernante para $ϕ$ sigue siendo la ecuación biarmónica homogénea, $\nabla^{4} ϕ = 0$ . El efecto de la gravedad simplemente se agrega al cálculo final de tensiones después de encontrar $ϕ$ .

2. El caso general utilizando una función potencial

Cualquier campo de fuerzas de cuerpo conservativas puede describirse mediante una función potencial $V (x, y)$ donde $B_{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$ y $B_{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$ . Las definiciones generales de tensión son:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + V, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + V$
En este caso general, la ecuación gobernante se convierte en la ecuación biarmónica no homogénea:
$\nabla^{4} ϕ = - (1 - ν) \nabla^{2} V (para tensión plana)$
Para deformación plana, la constante principal es $- (1 - 2 ν)$ . Esta ecuación general confirma nuestro resultado para la gravedad, ya que para $V = ρ g y$ , el laplaciano $\nabla^{2} V$ es cero.

El método de solución polinomial

Una estrategia versátil para resolver la ecuación biarmónica es suponer que la solución es un polinomio en $x$ e $y$ . Una forma general de la solución es
$ϕ (x, y) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m n} x^{m} y^{n} .$

Grado 0 y 1 ( $m + n \leq 1$ ): Estos términos producen tensión nula y pueden ignorarse.
Grado 2 y 3 ( $m + n = 2$ o $3$): Cualquier polinomio de grado tres o menor satisface automáticamente la ecuación biarmónica porque todas sus cuartas derivadas son cero. Sus coeficientes son determinados por las condiciones de contorno del problema. Un polinomio de segundo grado produce un estado de tensión constante, mientras que un polinomio de tercer grado produce un campo de tensiones que varía linealmente.
Grado 4 y superior ( $m + n \geq 4$ ): Para estos términos, los coeficientes ya no son independientes. Deben elegirse para satisfacer la ecuación biarmónica. Por ejemplo, para un término $ϕ_{4} = a_{40} x^{4} + a_{22} x^{2} y^{2} + a_{04} y^{4}$ , los coeficientes deben satisfacer la restricción $3 a_{40} + a_{22} + 3 c_{04} = 0$ .

Ejemplos

1. Tracción uniaxial
Para una barra bajo tensión de tracción uniforme $σ_{x} = S$ , necesitamos $\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} = S$ . Integrando dos veces se obtiene:
$ϕ = \frac{S}{2} y^{2}$
Este polinomio de segundo grado satisface automáticamente $\nabla^{4} ϕ = 0$ .

Para más detalles, consulte esta sección.

2. Flexión pura de una viga
La tensión en una viga bajo flexión pura es $σ_{x} = - \frac{M y}{I}$ . Para lograr esta tensión que varía linealmente, $ϕ$ debe ser una función cúbica. Proponemos $ϕ = C y^{3}$ . Esto da $σ_{x} = 6 C y$ . Comparando esto con la fórmula conocida, encontramos que la constante es $C = - M / (6 I)$ , por lo que la solución es:
$ϕ = - \frac{M}{6 I} y^{3}$