Deformación Plana

Supuestos, Rigidez y Ecuaciones Gobernantes

En mecánica de sólidos, otra reducción a 2D es la deformación plana. Se utiliza para modelar cuerpos que son muy largos en una dirección (la dirección axial) en comparación con sus otras dos dimensiones, con cargas y geometría que no varían a lo largo de este eje largo. Un ejemplo típico es una presa larga, un túnel o un muro de contención bajo carga uniforme.

Sea la sección transversal de la estructura el plano $xy$, y la dirección larga (axial) el eje $z$.

1. Formulación Clásica de Deformación Plana

Supuestos Principales: El supuesto central de la deformación plana es cinemático (relacionado con la deformación). Para un cuerpo muy largo restringido en sus extremos y cargado uniformemente a lo largo de su longitud, se asume que cada sección transversal se deforma de manera idéntica y no hay desplazamiento en la dirección axial larga.

Matemáticamente, esto implica: $$w(x,y,z)=0$$ $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ Los desplazamientos en el plano, u y v, son funciones solo de x e y.

A partir de estos supuestos cinemáticos, tres componentes de deformación son inmediatamente cero: $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0$$ $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

El Esfuerzo Axial (σ_zz): Una consecuencia crucial de la condición de deformación plana es que aunque la deformación axial (${ϵ}_{zz}$) es cero, el esfuerzo axial (${\sigma }_{zz}$) no es cero. La tendencia del material a contraerse o expandirse en la dirección z debido al efecto Poisson de los esfuerzos en el plano está físicamente restringida. Esta restricción genera un esfuerzo de reacción, ${\sigma }_{zz}$.

De la ley de Hooke generalizada para ${ϵ}_{zz}$: $${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]=0$$ Resolviendo para ${\sigma }_{zz}$ se obtiene: $${\sigma }_{zz}=\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$ Esto muestra que se desarrolla un esfuerzo axial para hacer cumplir la condición de deformación axial cero.

Consistencia Matemática: A diferencia del esfuerzo plano, la formulación clásica de deformación plana es cinemáticamente consistente. Los supuestos sobre el desplazamiento conducen directamente al estado de deformación definido sin crear contradicciones internas con las ecuaciones de elasticidad 3D. La formulación no es una aproximación en el mismo sentido que el esfuerzo plano; más bien, representa una solución exacta para una situación física idealizada (un cuerpo infinitamente largo).

2. Deformación Plana Generalizada

Si bien la deformación plana clásica es matemáticamente consistente, su supuesto de w = 0 (y por tanto ε_zz = 0) es altamente restrictivo. No puede, por ejemplo, modelar un cilindro largo con extremos libres que está sometido a un cambio de temperatura uniforme, ya que el cuerpo necesitaría expandirse o contraerse a lo largo del eje z.

Deformación plana generalizada es una extensión que relaja esta restricción estricta. Permite una extensión axial uniforme y/o flexión del cuerpo. La forma más simple supone que la deformación axial es una constante: $${ϵ}_{zz}={ϵ}_0(\text{una constante})$$ Esto corresponde a un campo de desplazamiento donde u y v siguen siendo solo funciones de x e y, pero se permite que el desplazamiento axial w sea una función lineal de z. Esta formulación puede manejar problemas que involucran fuerzas axiales netas o expansión térmica uniforme, manteniendo aún las ecuaciones gobernantes del problema en dos dimensiones.

3. Resumen de Ecuaciones e Incógnitas (Caso Clásico)

Para el problema clásico de deformación plana (${ϵ}_{zz}=0$), el sistema es matemáticamente determinado.

Las Incógnitas (Total: 8): * Desplazamientos (2): $u(x,y),v(x,y)$ * Deformaciones (3): ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$ * Esfuerzos (3): ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$ (Nota: ${\sigma }_{zz}$ también es una incógnita pero está determinada directamente por ${\sigma }_{xx}$ y ${\sigma }_{yy}$, por lo que no es una incógnita independiente en la solución 2D).

Las Ecuaciones Gobernantes (Total: 8):

1. Ecuaciones de Equilibrio (2): Idénticas al esfuerzo plano. $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. Ecuaciones Cinemáticas (Deformación-Desplazamiento) (3): Idénticas al esfuerzo plano. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. Ecuaciones Constitutivas (Ley de Hooke para Deformación Plana) (3): Estas relaciones son diferentes del esfuerzo plano porque incorporan el efecto del esfuerzo no nulo ${\sigma }_{zz}$. A menudo se escriben usando constantes elásticas efectivas. Las relaciones esfuerzo-deformación son: $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu {ϵ}_{yy}]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu {ϵ}_{xx}]$$ $${\sigma }_{xy}=G{\gamma }_{xy}(\text{where }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

Con 8 incógnitas y 8 ecuaciones independientes, el sistema está cerrado y es soluble, proporcionando una descripción completa del estado de esfuerzo y deformación 2D en la sección transversal.

Esfuerzo Plano vs. Deformación Plana

1. Esfuerzo Plano: Esta condición se supone para cuerpos delgados, como placas cargadas en su plano. La suposición clave es que la componente de esfuerzo perpendicular a la placa es cero en todo su espesor: ${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$. Las relaciones esfuerzo-deformación son: $${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$
2. Deformación Plana: Esta condición se aplica a cuerpos muy largos o gruesos donde la geometría y la carga no varían a lo largo de la longitud. Se supone que la deformación en la dirección larga es cero: ${ϵ}_z={\gamma }_{xz}={\gamma }_{yz}=0$. Esta restricción significa que puede desarrollarse un esfuerzo ${\sigma }_z$. Dado que $${ϵ}_z=0=\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu {\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)$$ obtenemos$${\sigma }_z=\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)$$Por lo tanto, las relaciones esfuerzo-deformación en el plano se convierten en: $${ϵ}_x=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_x-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_y-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$ donde $G={\displaystyle \frac{E}{2(1+\nu )}}$ es el módulo de cortante.

Podemos escribir ambos casos como donde y son el módulo de Young y la relación de Poisson efectivos dados por la siguiente tabla.