Principio de Saint-Venant
De Sokolnikoff, I. S. (1941). Teoría matemática de la elasticidad. Brown University.
Es obvio a partir de la formulación de los problemas de contorno fundamentales de la teoría de la elasticidad que la solución exacta de estos problemas probablemente presentará dificultades matemáticas formidables debido a la forma complicada de las condiciones de contorno. Con frecuencia es posible obtener una solución del problema si las condiciones de contorno se modifican ligeramente, y vale la pena señalar que en las aplicaciones tecnológicas de la teoría de la elasticidad solo se puede aproximar la formulación matemática de las condiciones de contorno, de modo que la solución matemática del problema representa solo una aproximación a la situación real.
En 1855, B. de Saint Venant expresó un principio que concuerda bien con las aplicaciones de la teoría de la elasticidad a problemas prácticos. La esencia del principio se puede enunciar de la siguiente manera:
Si alguna distribución de fuerzas que actúa sobre una porción de la superficie de un cuerpo se reemplaza por una distribución diferente de fuerzas, que actúa sobre la misma porción del cuerpo, entonces los efectos de las dos distribuciones diferentes sobre las partes del cuerpo suficientemente alejadas de la región de aplicación de las fuerzas son esencialmente los mismos, siempre que las dos distribuciones de fuerzas sean estáticamente equivalentes.
La frase “estáticamente equivalentes” significa que las dos distribuciones de fuerzas tienen la misma fuerza resultante y el mismo momento resultante.
Para ilustrar el significado del principio, considere una viga larga, uno de cuyos extremos está empotrado en una pared rígida, mientras que el otro está sometido a una distribución de fuerzas que da lugar a una fuerza resultante F y un par de momento M.
Ahora bien, existen infinitas distribuciones de fuerzas que pueden actuar sobre el extremo de la viga y que tendrán la misma resultante F y el mismo momento resultante M.
El principio de Saint Venant afirma que, si bien las distribuciones de tensiones y deformaciones cerca de la región de aplicación pueden diferir mucho, las excentricidades de la distribución local no tendrán un efecto apreciable sobre el estado de tensión suficientemente lejos de los puntos de aplicación, siempre que los sistemas de fuerzas aplicadas sean estáticamente equivalentes.
Este principio es de gran utilidad en las aplicaciones prácticas, ya que permite alterar las condiciones de contorno y así simplificar el problema.
Uno podría sospechar, por la generalidad del enunciado del Principio, que este no es fácil de justificar en todos los casos sobre bases puramente matemáticas. En casos específicos, se puede calcular la distribución de tensiones producida por varios sistemas de fuerzas estáticamente equivalentes y, en problemas sobre vigas, por ejemplo, es razonable suponer que las excentricidades locales no se sienten a distancias que son aproximadamente diez veces la mayor dimensión lineal del área sobre la cual se distribuyen las fuerzas.
Haremos cierto uso de este principio en los próximos capítulos.