Las ecuaciones gobernantes de la elasticidad

El objetivo de cualquier problema de mecánica de sólidos es determinar la distribución de desplazamientos, deformaciones y tensiones en un cuerpo sometido a fuerzas externas. Esto requiere un conjunto de ecuaciones gobernantes que se basan en tres principios físicos fundamentales: el equilibrio de fuerzas (equilibrio), la geometría de la deformación (cinemática) y la respuesta del material (ley constitutiva).

Para un cuerpo elástico tridimensional, debemos resolver un total de 15 cantidades de campo desconocidas en cada punto $(x,y,z)$ dentro del cuerpo.

Las 15 incógnitas

Las 15 incógnitas se pueden agrupar en tres categorías:

1. Vector de desplazamiento (3 incógnitas): Estas describen cómo se mueve cada punto en el cuerpo.
   • $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$
2. Tensor de deformación (6 incógnitas independientes): Estas describen la deformación (estiramiento y corte) del material. El tensor de deformación es simétrico (${ϵ}_{ij}={ϵ}_{ji}$), por lo que tiene 6 componentes únicas.
   • Deformaciones normales: ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$
   • Deformaciones de corte: ${ϵ}_{xy},{ϵ}_{yz},{ϵ}_{xz}$
3. Tensor de tensiones (6 incógnitas independientes): Estas describen las fuerzas internas que actúan sobre superficies infinitesimales dentro del material. Debido al equilibrio de momentos, el tensor de tensiones también es simétrico (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$), lo que le da 6 componentes únicas.
   • Tensiones normales: ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz}$
   • Tensiones de corte: ${\sigma }_{xy},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz}$

Total de incógnitas = 3 (Desplazamientos) + 6 (Deformaciones) + 6 (Tensiones) = 15 Cantidades.

Para resolver estas 15 incógnitas, necesitamos un número igual de ecuaciones independientes, que son proporcionadas por las leyes fundamentales de la mecánica de medios continuos.

Las 15 ecuaciones gobernantes

Las 15 ecuaciones se derivan de tres principios fundamentales:

1. Ecuaciones de equilibrio (3 ecuaciones)

Considerando un elemento infinitesimal dentro del cuerpo, de la segunda ley de Newton ($\mathrm{\Sigma }𝐅=m𝐚$) se deduce que las componentes de tensión satisfacen las siguientes ecuaciones de movimiento: $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zy}}{\partial z}+\rho b_y=\rho \frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\rho b_z=\rho \frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}$$ En las ecuaciones anteriores, es el campo de desplazamiento y $𝐛$ es la fuerza másica por unidad de masa.

Las ecuaciones de equilibrio a menudo se escriben en notación compacta de índices como $${\sigma }_{ji,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i,(i=1,2,3)$$ donde ${}_{,j}$ significa diferenciación con respecto a $x_j$, se sobreentiende la suma sobre el índice repetido $j$ (notación de Einstein), y se usa un doble punto para denotar la segunda derivada con respecto al tiempo.

Otra forma de escribir la ecuación anterior es la siguiente $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}.$$

2. Ecuaciones cinemáticas (deformación-desplazamiento) (6 ecuaciones) Estas son relaciones geométricas que definen las componentes del tensor de deformación en términos de las derivadas del vector de desplazamiento. Son válidas bajo la suposición de pequeñas deformaciones. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}$$ $${ϵ}_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})$$ $${ϵ}_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})$$ $${ϵ}_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})$$ En forma compacta: $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}),$$ o $$𝝐=\frac{1}{2}[\mathrm{\nabla }𝝐+\mathrm{\nabla }(𝝐{)}^T].$$

3. Ecuaciones constitutivas / Ley de Hooke generalizada (6 ecuaciones) Estas ecuaciones describen el comportamiento intrínseco del material relacionando la tensión con la deformación. En general: $${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{ϵ}_{kl}$$ * Nótese que se sobreentiende la suma sobre los índices repetidos $k$ y $l$. Es decir, $$C_{ijkl}{ϵ}_{kl}=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3{C}_{ijkl}{ϵ}_{kl}.$$ Para un material elástico lineal e isótropo, esta relación está definida por dos constantes del material, típicamente el módulo de Young ($E$) y el coeficiente de Poisson ($\nu$). $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu ({ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{zz}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{zz}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{yy})]$$ $${\sigma }_{xy}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xy}$$ $${\sigma }_{yz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{yz}$$ $${\sigma }_{xz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xz}$$ o de forma compacta $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu {ϵ}_{ij},$$ o $$𝝈=\lambda (\mathrm{tr}𝝐)𝑰+2\mu 𝝐.$$

Resumen

La teoría de la elasticidad linealizada es un marco matemático cerrado y completo. Hemos establecido un sistema de 15 incógnitas y un conjunto correspondiente de 15 ecuaciones independientes:

• 3 ecuaciones de equilibrio
• 6 ecuaciones cinemáticas
• 6 ecuaciones constitutivas

Esta igualdad asegura que el problema esté matemáticamente bien planteado. Aplicando condiciones de contorno apropiadas (es decir, especificando las fuerzas o los desplazamientos en la superficie del cuerpo), se puede determinar una solución única para los campos de tensión, deformación y desplazamiento.