La ecuación de Navier

Podemos expresar todas las ecuaciones en función del campo de desplazamientos. Su principal ventaja es que combina los tres conjuntos de ecuaciones gobernantes (equilibrio, cinemáticas y constitutivas) en una sola ecuación vectorial, reduciendo el problema de 15 incógnitas (tensión, deformación, desplazamiento) a solo 3 (las componentes del vector de desplazamiento $𝐮$).

La derivación implica una sustitución sistemática, comenzando con la ecuación de equilibrio y reemplazando progresivamente la tensión por la deformación, y luego la deformación por el desplazamiento.

Comenzamos con los tres conjuntos fundamentales de ecuaciones en notación indicial.

1. Ecuación de equilibrio (Ecuación de movimiento): Esta ecuación relaciona la divergencia del tensor de tensiones con las fuerzas másicas y la inercia. donde ${\sigma }_{ji}$ es el tensor de tensiones, $\rho$ es la densidad, $b_i$ es la fuerza másica por unidad de masa, y $u_i$ es el vector de desplazamiento.

Forma alternativa:

2. Ley constitutiva (Ley de Hooke generalizada para materiales isótropos): Esta ley relaciona la tensión con la deformación utilizando los dos parámetros de Lamé, $\lambda$ y $\mu$ (el módulo de cizalladura, $G$). donde ${ϵ}_{ij}$ es el tensor de deformaciones, ${ϵ}_{kk}={ϵ}_{11}+{ϵ}_{22}+{ϵ}_{33}$ es la deformación volumétrica (traza del tensor de deformaciones), y ${\delta }_{ij}$ es la delta de Kronecker.

Forma alternativa:

3. Relación cinemática (deformación-desplazamiento): Esta ecuación define la deformación en función de los gradientes de desplazamiento para pequeñas deformaciones. o El proceso de sustitución:

Paso A: Expresar la tensión en función del desplazamiento Primero, sustituir la relación cinemática (3) en la ley constitutiva (2). $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu [\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})]$$ El término de deformación volumétrica ${ϵ}_{kk}$ también debe expresarse en función del desplazamiento: $${ϵ}_{kk}=u_{k,k}=u_{1,1}+u_{2,2}+u_{3,3}$$ Sustituyendo esto de vuelta obtenemos la tensión puramente en función del desplazamiento:

Forma alternativa: Primero, nótese que la traza del tensor de deformaciones es la divergencia del vector de desplazamiento: $$\text{tr}(𝝐)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$$ Sustituir esto y la relación cinemática (3') en la ley constitutiva (2'): $$𝝈=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+2\mu [\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]$$

Paso B: Sustituir la tensión en la ecuación de equilibrio Ahora, sustituimos esta expresión de la tensión (4) en la ecuación de equilibrio (1). Dado que el tensor de tensiones es simétrico (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$), podemos reemplazar ${\sigma }_{ji}$ por ${\sigma }_{ij}$. $${[\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}+\mu (u_{i,j}+u_{j,i})]}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Ahora aplicamos la derivada con respecto a $x_j$ a los términos dentro del corchete: $$(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}+(\mu u_{i,j}{)}_{,j}+(\mu u_{j,i}{)}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Analicemos cada término, suponiendo que $\lambda$ y $\mu$ son constantes: * Término 1: $(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}=\lambda (u_{k,k}{)}_{,j}{\delta }_{ij}$. Debido a la delta de Kronecker ${\delta }_{ij}$, este término solo es distinto de cero cuando $j=i$. Entonces, la derivada se convierte en con respecto a $x_i$: $\lambda (u_{k,k}{)}_{,i}=\lambda u_{k,ki}$. * Término 2: $(\mu u_{i,j}{)}_{,j}=\mu u_{i,jj}$. * Término 3: $(\mu u_{j,i}{)}_{,j}=\mu u_{j,ij}$. Suponiendo que el campo de desplazamiento es suficientemente suave, podemos intercambiar el orden de diferenciación: $\mu u_{j,ji}=\mu (u_{j,j}{)}_{,i}$.

Combinando estos términos se obtiene: $$\lambda u_{k,ki}+\mu u_{i,jj}+\mu u_{j,ji}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Nótese que $u_{k,k}$ y $u_{j,j}$ representan ambos la divergencia del campo de desplazamiento. Podemos agrupar el primer y tercer término:

Esta es la ecuación de Lamé-Navier en notación indicial.

Forma alternativa:

Ahora, tomamos la divergencia de la expresión de la tensión (4') y la sustituimos en la ecuación de equilibrio (1'): $$\mathrm{\nabla }\cdot [\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+\mu (\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ Utilizamos las siguientes identidades estándar del cálculo vectorial: * $\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐈)=\mathrm{\nabla }f$ * $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐮)={\mathrm{\nabla }}^2𝐮$ (el laplaciano vectorial) * $\mathrm{\nabla }\cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$

Aplicando estas identidades a nuestra ecuación (suponiendo $\lambda$ y $\mu$ constantes): $$\lambda \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu ({\mathrm{\nabla }}^2𝐮)+\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ Finalmente, agrupamos los términos con el gradiente de la divergencia:

Condiciones de contorno en función del desplazamiento

Las condiciones de contorno que discutimos en la sección anterior $$n_j{\sigma }_{ij}=t_i^{}\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_u$$ pueden expresarse en función del campo de desplazamientos como $$[n_j\mu (u_{i,j}+u_{j,i})+n_i\lambda u_{k,k}]=t_i^{\ast }\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_u.$$