Condiciones de contorno

Las 15 ecuaciones gobernantes de la elasticidad forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que posee infinitas soluciones. Para encontrar la solución específica que corresponde a un problema físico particular, debemos imponer condiciones de borde, que especifican las restricciones físicas en la superficie del cuerpo elástico.

Para cualquier punto dado en la superficie del cuerpo, debe prescribirse uno de dos tipos de condiciones. Dejemos que el cuerpo ocupe un dominio $\mathrm{\Omega }$ con una superficie de borde $\mathrm{\Gamma }$.

1. Condiciones de contorno de desplazamiento

Esta condición prescribe el desplazamiento de los puntos en la superficie. Se utiliza para modelar partes de un cuerpo que están fijas, empotradas o forzadas a moverse de una manera específica.

Si una porción de la frontera, denotada por ${\mathrm{\Gamma }}_u$, tiene su desplazamiento especificado, la condición se escribe como: $$u_i(x,y,z,t)=u_i^{\ast }$$ donde $u_i^{\ast }$ son las componentes conocidas del vector de desplazamiento prescrito sobre esa superficie. Un ejemplo común es el extremo fijo de una viga en voladizo, donde $u_i^{\ast }=0$.

2. Condiciones de contorno de tracción

Esta condición prescribe las fuerzas que actúan sobre la superficie. Estas fuerzas se describen mediante el vector de tracción, $𝐭$, que es la fuerza por unidad de área. Se utiliza para modelar superficies sometidas a presiones, cargas distribuidas o fuerzas de contacto.

El vector de tracción está relacionado con el estado de tensión interna en la superficie mediante la relación de tensiones de Cauchy: $$t_i=n_j{\sigma }_{ji}$$ o $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈.$$ donde $n_j$ son las componentes del vector normal unitario exterior a la superficie y se sobreentiende la suma sobre el índice repetido $j$.

Si una porción de la frontera, denotada por ${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$, tiene sus tracciones especificadas, la condición se escribe como: $$t_i(x,y,z,t)=n_j{\sigma }_{ji}=t_i^{\ast }$$ o $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈={𝐭}^{\ast }.$$ donde $t_i^{\ast }$ son las componentes conocidas del vector de tracción prescrito. Una “superficie libre”, que no tiene fuerzas actuando sobre ella, es un ejemplo común e importante donde $t_i^{\ast }=0$.

Condiciones de contorno mixtas

En la mayoría de los problemas de ingeniería, las condiciones de contorno son de tipo mixto. Los desplazamientos se prescriben en una parte de la superficie (${\mathrm{\Gamma }}_u$), mientras que las tracciones se prescriben en la parte restante (${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$). Toda la frontera debe estar cubierta, y estas dos regiones deben ser disjuntas: $$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_u\cup {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{y}{\mathrm{\Gamma }}_u\cap {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }=\mathrm{\varnothing }$$ Juntas, las ecuaciones de campo gobernantes y un conjunto completo de condiciones de contorno forman un problema bien planteado, garantizando que existe una solución única.