Transformación de la deformación

Recuerde que 𝝐 = 1 2 ( 𝐮 ∇ + ( 𝐮 ∇ ) T ) . o 𝝐 = 1 2 ( [ u 1 u 2 u 3 ] [ ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 3 ] + [ ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 3 ] [ u 1 u 2 u 3 ] )

Para expresar los componentes de la deformación en un nuevo sistema de coordenadas, debemos expresar tanto el desplazamiento 𝐮 como ∇ en el nuevo sistema de coordenadas. Es decir,

Por lo tanto, para expresar en términos de los componentes de la deformación en el antiguo sistema de coordenadas, deberíamos:

  • expresar los componentes del desplazamiento en el nuevo sistema de coordenadas en términos de los componentes del desplazamiento en el antiguo sistema de coordenadas
  • expresar la diferenciación con respecto a un nuevo eje de coordenadas en términos de la diferenciación con respecto a las coordenadas antiguas.

Transformación del desplazamiento

El desplazamiento es una cantidad vectorial. Por lo tanto, sus componentes en un nuevo sistema de coordenadas siguen la transformación de vectores: o

donde es el k-ésimo componente del i-ésimo vector unitario para el nuevo sistema de coordenadas:

Transformación de las derivadas

De la regla de la cadena se deduce que

La tasa de cambio de una coordenada antigua con respecto a una nueva coordenada es el coseno del ángulo entre ellas:

Por lo tanto,

Podemos escribir (6) como

y para todas las nuevas coordenadas:

Gradiente en nuevas coordenadas

Combinando (1) y (6), obtenemos Alternativamente, usando notación matricial y (2) y (7), podemos escribir

Ley de transformación para el tensor de deformación

Dado que 𝝐 = 1 2 ( 𝐮 ∇ + ( 𝐮 ∇ ) T ) , concluimos que Esta es la misma fórmula de transformación que para el esfuerzo:

Caso especial: Transformación 2D

En 2D, L = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ]

Por lo tanto,

Esto muestra que para transformar los componentes de la deformación en un problema 2D, podemos usar el círculo de Mohr, exactamente como con el esfuerzo.

Ejemplo: El campo de desplazamiento de un cuerpo sometido a esfuerzos está especificado por
u = 10 − 3 ( x + y ) 2  m , v = 10 − 3 ( y − z ) 2  m , w = − 10 − 3 x z  m

  1. Encuentre el tensor de deformación en el punto P ( 0 , 1 , − 2 ) .
  2. Calcule el cambio en el ángulo recto entre
    𝐚 ^ = 1 9 ( 8 𝐢 ^ − 𝐣 ^ + 4 𝐤 ^ ) , 𝐛 ^ = 1 9 ( 4 𝐢 ^ + 4 𝐣 ^ − 7 𝐤 ^ )
Solución

(a) El tensor gradiente de desplazamiento es

Evaluando en P ( 0 , 1 , − 2 ) :

∇ 𝐮 = 10 − 3 [ 2 2 0 0 6 − 6 2 0 0 ]

El tensor de deformación está dado por 𝜺 = 1 2 ( ∇ 𝐮 + ( ∇ 𝐮 ) T ) 𝜺 = 10 − 3 2 ( [ 2 2 0 0 6 − 6 2 0 0 ] + [ 2 0 2 2 6 0 0 − 6 0 ] )

𝜺 = 10 − 3 [ 2 1 0 1 6 − 3 1 − 3 0 ]

(b) Consideramos , . Ambos son vectores unitarios.

El cambio en el ángulo está relacionado con la deformación cortante de ingeniería:

Para calcular , rotamos 𝝐 a la base , donde

La matriz de transformación es

El tensor de deformación en esta base rotada es

Por lo tanto,

Δ θ = 2 × 0.9877 × 10 − 3 = 1.9753 × 10 − 3