Ecuaciones de Compatibilidad

Compatibilidad de las componentes de deformación

Anteriormente, probamos que el tensor de tensiones no puede variar arbitrariamente dentro de una región. De hecho, su variación está restringida por las segundas leyes de Newton. Ahora la pregunta es: ¿Pueden variar arbitrariamente las componentes de la deformación? La respuesta es no. Existen algunas restricciones sobre cómo puede variar la deformación dentro de un cuerpo. Estas restricciones se conocen como ecuaciones de compatibilidad.

Para deformaciones pequeñas, las componentes de deformación están relacionadas con el campo de desplazamiento $𝐮$ mediante $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}).$$ Cuando se conoce el campo de desplazamiento $𝐮$, las componentes de deformación pueden calcularse fácilmente a partir de la ecuación anterior. Sin embargo, el problema inverso de determinar el campo de desplazamiento correspondiente a un campo de deformación dado es mucho más complejo.

Existen seis componentes de deformación independientes $({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$ , ${ϵ}_{yz}$, ${ϵ}_{xz}$, ${ϵ}_{xy}$) y solo tres componentes de desplazamiento. Esto significa que hay seis ecuaciones para tres funciones desconocidas $u_x,u_y,u_z$. Por lo tanto, no esperamos que el sistema de ecuaciones tenga soluciones unívocas si las funciones ${ϵ}_{ij}$ se eligen arbitrariamente.

Ecuaciones de compatibilidad

Para garantizar que un conjunto de componentes de deformación corresponda a un campo de desplazamiento físicamente posible, deben satisfacerse ciertas condiciones de compatibilidad. Estas condiciones se obtienen eliminando las componentes de desplazamiento $u,v,w$ de las relaciones deformación–desplazamiento.

A partir de las definiciones de las componentes de deformación, tenemos: $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},{ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},2{ϵ}_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$ Tomando las segundas derivadas apropiadas, encontramos: $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y^2},\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y\partial x^2},2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^2\partial y}+\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y^2\partial x}.$$

Combinando estas relaciones y reconociendo que las derivadas parciales mixtas son iguales, obtenemos: $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}.}$$

Esta es una de las ecuaciones de compatibilidad que las componentes de deformación deben satisfacer para que exista un campo de desplazamiento continuo y unívoco.

Relaciones adicionales

Permutando cíclicamente las coordenadas $x,y,z$, se pueden deducir dos relaciones adicionales del mismo tipo.

Diferenciando las relaciones tridimensionales deformación–desplazamiento se obtienen expresiones como: $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y\partial x},$$ y relaciones similares para las otras componentes.

Combinando estas y eliminando $u,v,w$, obtenemos: $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}).}$$

Por permutación cíclica de $x,y,z$, obtenemos tres más de tales relaciones, dando un total de seis ecuaciones de compatibilidad en tres dimensiones.

$$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial y^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial z^2}.$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}),$$

Para una región simplemente conexa¹ (es decir, un cuerpo material sin agujeros ni discontinuidades), las ecuaciones de compatibilidad son tanto necesarias como suficientes para garantizar que el campo de desplazamiento exista y sea unívoco.

Si la región es múltiplemente conexa (por ejemplo, contiene agujeros o vacíos), deben aplicarse condiciones adicionales para garantizar la compatibilidad en todo el cuerpo (ver la siguiente referencia).

Es importante señalar que estas ecuaciones no son necesarias cuando las componentes de desplazamiento $u,v,w$ se tratan como las incógnitas principales, ya que satisfacen automáticamente las relaciones deformación–desplazamiento. Sin embargo, cuando se trabaja directamente con las componentes de deformación como incógnitas, deben imponerse las ecuaciones de compatibilidad para garantizar que el campo de deformación resultante corresponda a una deformación válida.

Dado que las componentes de deformación describen las posiciones relativas de los puntos dentro de un cuerpo, y el movimiento de cuerpo rígido no produce deformación, las componentes de desplazamiento pueden determinarse solo hasta un movimiento de cuerpo rígido arbitrario. En otras palabras, incluso si las componentes de deformación satisfacen las ecuaciones de compatibilidad, el campo de desplazamiento no está determinado de manera única.

Referencia

Fung, Y. C. (1965). Foundations of continuum mechanics. Prentice-Hall.