Es útil considerar qué significado geométrico se le puede dar a la derivada.
En primer lugar, cualquier función de \(x\), como, por ejemplo, \(x^2\), o \(\sqrt{x}\), o \(ax+b\), puede trazarse como una curva; y hoy en día muchos estudiantes están familiarizados con el proceso de trazado de curvas. Hay varias herramientas disponibles para trazar curvas, como calculadoras gráficas, Wolfram Alpha,1 MATLAB, Python o incluso Microsoft Excel.
Sea \(PQR\), en la siguiente figura, una porción de una curva trazada con respecto a los ejes \(x\) e \(y\). Considere cualquier punto \(Q\) en esta curva con coordenadas \((x,y)\) (es decir, la abscisa del punto es \(x\) y su ordenada es \(y\)).
Observe ahora cómo cambia \(y\) cuando se varía \(x\) . Si se hace que \(x\) aumente mediante un pequeño incremento \(dx\), hacia la derecha, se observará que \(y\) también (en esta curva en particular) aumenta mediante un pequeño incremento \(dy\) (porque da la casualidad de que esta curva en particular es una curva ascendente). Entonces, la razón entre \(dy\) y \(dx\) es una medida del grado en que la curva se inclina hacia arriba entre los dos puntos \(Q\) y \(T\). De hecho, se puede ver en la figura que la curva entre \(Q\) y \(T\) tiene muchas pendientes diferentes, de modo que no podemos hablar con mucha propiedad de la pendiente de la curva entre \(Q\) y \(T\). Sin embargo, si \(Q\) y \(T\) están tan cerca uno del otro que la pequeña porción \(QT\) de la curva es prácticamente recta, entonces es cierto decir que la razón \(\dfrac{dy}{dx}\) es la pendiente de la curva a lo largo de \(QT\). La línea recta \(QT\) prolongada en ambos sentidos toca la curva solo a lo largo de la porción \(QT\), y si esta porción es indefinidamente pequeña, la línea recta tocará la curva prácticamente en un solo punto y será, por lo tanto, una tangente a la curva.
Esta tangente a la curva tiene evidentemente la misma pendiente que \(QT\), de modo que \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\) es la pendiente de la tangente a la curva en el punto \(Q\) para el cual se halla el valor de \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\).
Hemos visto que la expresión abreviada «la pendiente de una curva» no tiene un significado preciso, porque una curva tiene muchas pendientes; de hecho, cada pequeña porción de una curva tiene una pendiente diferente. «La pendiente de una curva en un punto» es, sin embargo, algo perfectamente definido; es la pendiente de una porción muy pequeña de la curva situada justo en ese punto; y hemos visto que esto es lo mismo que «la pendiente de la tangente a la curva en ese punto».
La pendiente de una curva en un punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
Observe que \(dx\) es un paso corto hacia la derecha, y \(dy\) el paso corto correspondiente hacia arriba. Estos pasos deben considerarse lo más cortos posible —de hecho, indefinidamente cortos—, aunque en los diagramas tengamos que representarlos mediante fragmentos que no son infinitesimalmente pequeños, de lo contrario no se podrían ver.
En lo sucesivo haremos un uso considerable de esta circunstancia de que \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\) representa la pendiente de la curva en cualquier punto.
Si una curva se inclina hacia arriba a \(45^\circ\) en un punto en particular, como en la siguiente figura, \(dy\) y \(dx\) serán iguales, y el valor de \(\dfrac{dy}{dx} = 1\).
Si la curva tiene una inclinación hacia arriba más pronunciada que \(45^\circ\) (siguiente figura), \(\dfrac{dy}{dx}\) será mayor que \(1\).
Si la curva se inclina hacia arriba muy suavemente, como en la siguiente figura, \(\dfrac{dy}{dx}\) será una fracción menor que \(1\).
Para una línea horizontal, o un lugar horizontal en una curva, \(dy=0\), y por lo tanto \(\dfrac{dy}{dx}=0\).
Si una curva se inclina hacia abajo, como en la siguiente figura, \(dy\) será un paso hacia abajo y, por lo tanto, debe considerarse de valor negativo; de ahí que \(\dfrac{dy}{dx}\) también tendrá signo negativo.
Si la «curva» resulta ser una línea recta, como la de la siguiente figura, el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\) será el mismo en todos sus puntos. En otras palabras, su pendiente es constante.
Si una curva es de las que se desvían más hacia arriba a medida que avanza hacia la derecha, los valores de \(\dfrac{dy}{dx}\) se harán cada vez mayores con el aumento de la inclinación, como en la siguiente figura.
Si una curva es de las que se vuelven cada vez más planas a medida que avanza, los valores de \(\dfrac{dy}{dx}\) se harán cada vez menores a medida que se alcance la parte más plana, como en la siguiente figura.
Si una curva primero desciende y luego vuelve a subir, como en la siguiente figura, presentando una concavidad hacia arriba, entonces claramente \(\dfrac{dy}{dx}\) primero será negativa, con valores que disminuyen a medida que la curva se aplana, luego será cero en el punto en el que se alcanza el fondo del valle de la curva; y a partir de este punto en adelante \(\dfrac{dy}{dx}\) tendrá valores positivos que irán aumentando. En tal caso se dice que \(y\) pasa por un mínimo. El valor mínimo de \(y\) no es necesariamente el menor valor de \(y\), es aquel valor de \(y\) correspondiente al fondo del valle; por ejemplo, en la siguiente figura, el valor de \(y\) correspondiente al fondo del valle es \(1\), mientras que \(y\) toma en otras partes valores menores que este. La característica de un mínimo es que \(y\) debe aumentar a ambos lados del mismo.
Nota—Para el valor particular de \(x\) que hace que \(y\) sea un mínimo, el valor de \(\dfrac{dy}{dx} = 0\).
Si una curva primero asciende y luego desciende, los valores de \(\dfrac{dy}{dx}\) serán positivos al principio; luego cero, a medida que se alcanza la cima; luego negativos, a medida que la curva se inclina hacia abajo, como en la siguiente figura. En este caso se dice que \(y\) pasa por un máximo, pero el valor máximo de \(y\) no es necesariamente el mayor valor de \(y\). En la figura anterior, el máximo de \(y\) es \(2\frac{1}{3}\), pero este no es en absoluto el mayor valor que \(y\) puede tener en algún otro punto de la curva.
Nota—Para el valor particular de \(x\) que hace que \(y\) sea un máximo, el valor de \(\dfrac{dy}{dx}= 0\).
Si una curva tiene la peculiar forma de la siguiente figura, los valores de \(\dfrac{dy}{dx}\) siempre serán positivos; pero habrá un lugar en particular donde la pendiente sea menos pronunciada, donde el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\) será un mínimo; es decir, menor de lo que es en cualquier otra parte de la curva.
Si una curva tiene la forma de la siguiente figura, el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\) será negativo en la parte superior y positivo en la parte inferior; mientras que en la punta de la curva donde se vuelve realmente perpendicular, el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\) será infinitamente grande.
En resumen:
Cuando \(x\) aumenta
Si \(\dfrac{dy}{dx}>0\), \(\qquad y\) aumenta; la curva asciende hacia la derecha.
Si \(\dfrac{dy}{dx}<0\), \(\qquad y\) disminuye; la curva desciende hacia la derecha.
Ahora que comprendemos que \(\dfrac{dy}{dx}\) mide la inclinación de una curva en cualquier punto, pasemos a algunas de las ecuaciones que ya hemos aprendido a derivar.
Ejemplo 10.1. Como el caso más sencillo tome este: \[y=x+b.\]
Está trazado en la siguiente figura, utilizando escalas iguales para \(x\) e \(y\). Si ponemos \(x = 0\), entonces la ordenada correspondiente será \(y = b\); es decir, la «curva» cruza el eje \(y\) a la altura \(b\). Desde aquí asciende a \(45^\circ\); pues para cualquier valor que le demos a \(x\) a la derecha, tenemos una \(y\) igual que ascender. La línea tiene una pendiente de \(1\) en \(1\).
Ahora derive \(y = x+b\), por las reglas que ya hemos aprendido, y obtenemos \(\dfrac{dy}{dx} = 1\).
La pendiente de la recta es tal que por cada pequeño paso \(dx\) a la derecha, damos un pequeño paso igual \(dy\) hacia arriba. Y esta pendiente es constante: siempre la misma pendiente.
Ejemplo 10.2. Tome otro caso: \[y = ax+b.\] Sabemos que esta curva, como la anterior, comenzará desde una altura \(b\) en el eje \(y\). Pero antes de trazar la curva, busquemos su pendiente derivando; lo que da \(\dfrac{dy}{dx} = a\). La pendiente será constante, con un ángulo cuya tangente aquí se llama \(a\). Asignemos a \(a\) algún valor numérico, digamos \(\frac{1}{3}\). Entonces debemos darle una pendiente tal que ascienda \(1\) por cada \(3\); o \(dx\) será \(3\) veces mayor que \(dy\); como se amplía en la siguiente figura.
Así que dibuje la línea en la siguiente figura con esta pendiente.
Ahora vamos con un caso un poco más difícil.
Ejemplo 10.3. Sea \[y= ax^2 + b.\]
De nuevo, la curva comenzará en el eje \(y\) a una altura \(b\) por encima del origen.
Ahora derive. [Si lo ha olvidado, vuelva atrás; o, mejor dicho, no vuelva atrás, sino deduzca la derivación.] \[\frac{dy}{dx} = 2ax.\]
Esto demuestra que la inclinación no será constante: aumenta a medida que \(x\) aumenta. En el punto de partida \(P\), donde \(x = 0\), la curva (siguiente figura) no tiene inclinación; es decir, es plana. A la izquierda del origen, donde \(x\) tiene valores negativos, \(\dfrac{dy}{dx}\) también tendrá valores negativos, o descenderá de izquierda a derecha, como en la Figura.
Ilustremos esto resolviendo un caso particular. Tomando la ecuación \[y = \frac{1}{4}x^2 + 3,\] y derivándola, obtenemos \[\dfrac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x.\] Ahora asigne algunos valores sucesivos, digamos del \(0\) al \(5\), a \(x\); y calcule los valores correspondientes de \(y\) mediante la primera ecuación; y de \(\dfrac{dy}{dx}\) a partir de la segunda ecuación. Tabulando los resultados, tenemos:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(3\frac{1}{4}\) | \(4\) | \(5\frac{1}{4}\) | \(7\) | \(9\frac{1}{4}\) |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(1\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(2\frac{1}{2}\) |
Luego trácelos en dos curvas, Fig. 10.18 y Fig. 10.19; en la Fig. 10.18 trazando los valores de \(y\) en función de los de \(x\) y en la Fig. 10.19 los de \(\dfrac{dy}{dx}\) en función de los de \(x\). Para cualquier valor asignado a \(x\), la altura de la ordenada en la segunda curva es proporcional a la pendiente de la primera curva.
Si una curva llega a una cúspide repentina, como en la siguiente figura, la pendiente en ese punto cambia bruscamente de una pendiente ascendente a una pendiente descendente. En ese caso \(\dfrac{dy}{dx}\) claramente sufrirá un cambio brusco de un valor positivo a uno negativo.
Los siguientes ejemplos muestran más aplicaciones de los principios que se acaban de explicar.
Ejemplo 10.4. (a) Halle la pendiente de la tangente a la curva \[y = \frac{1}{2x} + 3,\] en el punto donde \(x = -1\). (b) Encuentre el ángulo que esta tangente forma con la curva \(y = 2x^2 + 2\).
Solución. (a) La pendiente de la tangente es la pendiente de la curva en el punto donde se tocan entre sí; es decir, es el \(\dfrac{dy}{dx}\) de la curva para ese punto. Aquí \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2x^2}\) y para \(x = -1\), \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2}\), que es la pendiente de la tangente y de la curva en ese punto. La tangente, siendo una línea recta, tiene por ecuación \(y = ax + b\), y su pendiente es \(\dfrac{dy}{dx} = a\), de ahí que \(a = -\dfrac{1}{2}\). Además, si \(x= -1\), \(y = \dfrac{1}{2(-1)} + 3 = 2\frac{1}{2}\); y como la tangente pasa por este punto, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación de la tangente, a saber \[y = -\dfrac{1}{2} x + b,\] de modo que \(2\frac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \times (-1) + b\) y \(b = 2\); la ecuación de la tangente es por tanto \(y = -\dfrac{1}{2} x + 2\) (ver la siguiente figura).
(b) Ahora bien, cuando dos curvas se cruzan, siendo la intersección un punto común a ambas curvas, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de cada una de las dos curvas; es decir, debe ser una solución del sistema de ecuaciones simultáneas formado al agrupar las ecuaciones de las curvas. Aquí las curvas se intersecan en los puntos dados por la solución de \[\left\{ \begin{align} y &= 2x^2 + 2, \\ y &= -\frac{1}{2} x + 2 \quad\text{o}\quad 2x^2 + 2 = -\frac{1}{2} x + 2; \end{align} \right.\]
es decir, \[x(2x + \frac{1}{2}) = 0.\]
Esta ecuación tiene como soluciones \(x = 0\) y \(x = -\frac{1}{4}\) (ver la siguiente figura). La pendiente de la curva \(y = 2x^2 + 2\) en cualquier punto es \[\dfrac{dy}{dx} = 4x.\]
Para el punto donde \(x = 0\), esta pendiente es cero; la curva es horizontal. Para el punto donde \[x = -\dfrac{1}{4},\quad \dfrac{dy}{dx} = -1;\] de ahí que la curva en ese punto se incline hacia abajo a la derecha con un ángulo \(\theta\) respecto a la horizontal tal que \(\tan \theta = 1\); es decir, a \(45^\circ\) respecto a la horizontal.
La pendiente de la línea recta es \(-\frac{1}{2}\); es decir, se inclina hacia abajo a la derecha y forma con la horizontal un ángulo \(\phi\) tal que \(\tan \phi = \frac{1}{2}\); es decir, un ángulo de \(26^\circ~34'\). Se deduce que en el primer punto la curva corta la recta en un ángulo de \(26^\circ~34'\), mientras que en el segundo la corta en un ángulo de \(45^\circ - 26^\circ~34' = 18^\circ~26'\) (ver la siguiente figura).
Ejemplo 10.5. Se debe trazar una línea recta, a través de un punto cuyas coordenadas son \(x = 2\), \(y = -1\), como tangente a la curva \(y = x^2 - 5x + 6\). Halle las coordenadas del punto de contacto.
Nota.—-el punto \((2,-1)\) no se encuentra en la curva \(y=x^2-5x+6\).
Solución. La pendiente de la tangente debe ser igual a la \(\dfrac{dy}{dx}\) de la curva; es decir, \(2x - 5\).
La ecuación de la línea recta es \(y = ax + b\), y como se cumple para los valores \(x = 2\), \(y = -1\), entonces \(-1 = a\times2 + b\); además, su \(\dfrac{dy}{dx} = a = 2x - 5\) [dado que \(y=ax+b\) es la recta tangente, su pendiente, \(a\), debe ser la misma que \(\dfrac{d(x^2-5x+6)}{dx}\)].
La \(x\) y la \(y\) del punto de contacto también deben satisfacer tanto la ecuación de la tangente como la ecuación de la curva.
Tenemos entonces \[\left\{\begin{align} y &= x^2 - 5x + 6, &&\text{(i)} \\ y &= ax + b, &&\text{(ii)} \\ -1 &= 2a + b, &&\text{(iii)} \\ a &= 2x - 5, &&\text{(iv)} \end{align}\right.\] cuatro ecuaciones con \(a\), \(b\), \(x\), \(y\).
Las ecuaciones (i) y (ii) dan \(x^2 - 5x + 6 = ax+b\).
Reemplazando \(a\) y \(b\) por sus valores en esto, obtenemos \[x^2 - 5x + 6 = (2x - 5)x - 1 - 2(2x - 5),\] lo que se simplifica a \(x^2 - 4x + 3 = 0\), cuyas soluciones son: \(x = 3\) y \(x = 1\). Reemplazando en (i), obtenemos \(y = 0\) y \(y = 2\) respectivamente; los dos puntos de contacto son entonces \(x = 1\), \(y = 2\), y \(x = 3\), \(y = 0\) (ver la siguiente figura).
Nota.—En todos los ejercicios relacionados con curvas, los estudiantes encontrarán sumamente instructivo verificar las deducciones obtenidas trazando realmente las curvas.
Ejercicios
Ejercicio 10.1. Trace la curva \(y = \dfrac{3}{4} x^2 - 5\), utilizando escalas iguales para \(x\) e \(y\). Mida en los puntos correspondientes a diferentes valores de \(x\), el ángulo de su pendiente.
Halle, derivando la ecuación, la expresión de la pendiente; y vea, a partir de una Tabla de Tangentes Naturales, si esto concuerda con el ángulo medido.
Solución
\[y=\frac{3}{4} x^2 - 5 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x\]
Cuando \(x=-3\), \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{9}{2}\)
a partir de la gráfica: la pendiente de la recta tangente \(=-\dfrac{9}{2}=-4.5\). Concuerdan.
Cuando \(x=-2\), \(\dfrac{dy}{dx}=-3\)
a partir de la gráfica: la pendiente de la recta tangente \(=-\dfrac{6}{2}=-3\). Concuerdan.
Cuando \(x=-1\), \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2}\)
a partir de la gráfica: la pendiente de la recta tangente \(=-\dfrac{3}{2}=-1.5\). Concuerdan.
Cuando \(x=0\), \(\dfrac{dy}{dx}=0\)
a partir de la gráfica: la recta tangente es horizontal. Por lo tanto, su pendiente es cero. Concuerdan.
Cuando \(x=1\), \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\)
a partir de la gráfica: la pendiente de la recta tangente \(=\dfrac{3}{2}=1.5\). Concuerdan.
Cuando \(x=2\), \(\dfrac{dy}{dx}=3\)
a partir de la gráfica: la pendiente de la recta tangente \(=\dfrac{6}{2}=3\). Concuerdan.
Cuando \(x=3\), \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9}{2}\)
a partir de la gráfica: la pendiente de la recta tangente \(=\dfrac{9}{2}=4.5\). Concuerdan.
Ejercicio 10.2. Determine cuál será la pendiente de la curva \[y = 0.12x^3 - 2,\] en el punto particular con \(x=2\).
Respuesta
\(1.44\).
Solución
\[\begin{align} & y=0.12 x^{3}-2 \\ & \frac{d y}{d x}=3 \times 0.12 x^{2}=0.36 x^{2} \end{align}\]
Cuando \(x=2, \quad \dfrac{d y}{d x}=1.44\).
Por lo tanto, la pendiente de la curva en el punto con \(x=2\) es \(1.44\).
Ejercicio 10.3. Si \(y = (x - a)(x - b)\), demuestre que en el punto particular de la curva donde \(\dfrac{dy}{dx} = 0\), \(x\) tendrá el valor \(\frac{1}{2} (a + b)\).
Solución
\[y=(x-a)(x-b)\] Usando la regla del producto: \[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=(x-b)+(x-a)\\ &=2 x-a-b \end{align}\] Igualando \(\dfrac{dy}{dx}=0\), obtenemos \[x=\frac{a+b}{2}.\]
Ejercicio 10.4. Halle el \(\dfrac{dy}{dx}\) de la ecuación \(y = x^3 + 3x\); y calcule los valores numéricos de \(\dfrac{dy}{dx}\) para los puntos correspondientes a \(x = 0\), \(x = \frac{1}{2}\), \(x = 1\), \(x = 2\).
Respuesta
\(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 3\); y los valores numéricos son: \(3\), \(3 \frac{3}{4}\), \(6\), y \(15\).
Solución
\[\begin{align} & y=x^{3}+3 x \\ & \frac{d y}{d x}=3 x^{2}+3 \end{align}\]
Cuando \(x=0\), \(\dfrac{dy}{dx}=3\).
Cuando \(x=1/2\), \(\dfrac{dy}{dx}=3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}=3.75\).
Cuando \(x=1\), \(\dfrac{dy}{dx}=6\).
Cuando \(x=2\), \(\dfrac{dy}{dx}=15\).
Ejercicio 10.5. En la curva cuya ecuación es \(x^2 + y^2 = 4\), encuentre los valores de \(x\) en aquellos puntos donde la pendiente \({} = 1\).
Respuesta
\(\pm \sqrt{2}\).
Solución
\[x^{2}+y^{2}=4\] Despejando \(y\): \[y= \pm \sqrt{4-x^{2}}= \pm\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\]
Para encontrar \(\dfrac{dy}{dx}\), sea \(u=4-x^{2}\). Entonces \(y= \pm u^{\frac{1}{2}}\) y
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & = \pm \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}(-2 x) \\ & = \pm \frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\mp \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} \\ \frac{d y}{d x} & =1 \Rightarrow \mp \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=1 \end{align}\]
Primero consideremos el signo \(-\):
\[-x=\sqrt{4-x^{2}}\]
Debemos tener \(x \leq 0\) porque el lado derecho no es negativo.
\[\begin{align} & x^{2}=4-x^{2} \\ & 2 x^{2}=4 \\ & x= \pm \sqrt{2} \end{align}\] Solo \(x=-\sqrt{2}\) es aceptable.
Cuando \(x=-\sqrt{2}\):
\[y=+\sqrt{4-x^{2}}=+\sqrt{2}\]
Ahora consideremos el signo \(+\):
\[x=\sqrt{4-x^{2}}\] Debemos tener \(x \geq 0\) porque el lado derecho siempre es no negativo
\[\begin{align} x^{2} & =4-x^{2} \\ 2 x^{2} & =4 \\ x & = \pm \sqrt{2} \end{align}\] Solo \(x=+\sqrt{2}\) es aceptable.
Cuando \(x=+\sqrt{2}\): \[y=-\sqrt{4-x^{2}}=-\sqrt{2}\]
Por lo tanto, en dos puntos \((-\sqrt{2},+\sqrt{2})\) y \((+\sqrt{2},-\sqrt{2})\), la pendiente de la curva es 1.
Ejercicio 10.6. Encuentre la pendiente, en cualquier punto, de la curva cuya ecuación es \(\dfrac{x^2 }{3^2} + \dfrac{y^2}{2^2} = 1\); y dé el valor numérico de la pendiente en el lugar donde \(x = 0\), y en el que \(x = 1\).
Respuesta
\(\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{4}{9} \dfrac{x}{y}\). La pendiente es cero donde \(x = 0\); y es \(\mp \dfrac{1}{3 \sqrt{2}}\) donde \(x = 1\).
Solución
\[\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\]
Método 1: Usando la regla de la cadena
\[\begin{align} & \frac{d\left(\frac{x^{2}}{9}\right)}{d x}+\frac{d\left(\frac{y^{2}}{4}\right)}{d x}=1 \\ & \frac{1}{9} 2 x+\frac{1}{4} 2 y \cdot \frac{d y}{d x}=0 \\ \end{align}\] De ahí que \[\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{1}{9} x}{\frac{y}{4}}=-\frac{4}{9} \frac{x}{y}\] o \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =-\frac{4}{9} \frac{x}{ \pm 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}} \\ & =\mp \frac{2}{3} \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}} \end{align}\]
Método 2: Podemos obtener el mismo resultado si despejamos \(y\) de \[\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\]. Es decir
\[\begin{align} y & = \pm 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} \\ & = \pm 2\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)^{\frac{1}{2}} \end{align}\]
Para encontrar \(\frac{d y}{d x}\), sea \(u=1-\frac{x^{2}}{9}\). Entonces \(y= \pm 2 u^{\frac{1}{2}}\) y \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & = \pm \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2 x) \\ & = \pm \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=\mp \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \end{align}\]
Cuando \(x=0, \quad \dfrac{d y}{d x}=0\)
Cuando \(x=1, \quad \dfrac{d y}{d x}=\mp \dfrac{2}{3 \sqrt{8}}=\mp \dfrac{1}{3 \sqrt{2}}.\) Para ser más específicos, cuando \(x=1\), si \(y>0\), entonces \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\), y si \(y<0\), entonces \(\dfrac{dy}{dx}=+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\).
Ejercicio 10.7. Siendo la ecuación de una tangente a la curva \(y = 5 - 2x + 0.5x^3\) de la forma \(y = mx + n\), donde \(m\) y \(n\) son constantes, encuentre el valor de \(m\) y \(n\) si el punto donde la tangente toca la curva tiene \(x=2\) como abscisa.
Respuesta
\(m = 4\), \(n = -3\).
Solución
\[y=5-2 x+0.5 x^{3}\]
\[\frac{d y}{d x}=-2+1.5 x^{2}\]
Cuando \(x=2, \quad \frac{d y}{d x}=4\).
Cuando \(x=2, \quad y=5\).
La ecuación de la recta con pendiente 4 que pasa por \((2,5)\) es \[y-5=4(x-2)\] o \[y=4 x-3\] Por lo tanto,
\[m=4 \quad \text { y }\quad n=-3\]
Ejercicio 10.8. ¿En qué ángulo se cortan las dos curvas \[y = 3.5x^2 + 2 \quad \text{y} \quad y = x^2 - 5x + 9.5\]?2
Respuesta
Intersecciones en \(x = 1\), \(x = -3\). Ángulos \(153^\circ\;26'\), \(2^\circ\;28'\).
Solución
Primero, necesitamos calcular en qué punto se intersecan estas dos curvas:
Igualando las ecuaciones de las dos curvas:
\[3.5 x^{2}+2=x^{2}-5 x+9.5\] \[\Rightarrow 2.5 x^{2}+5 x-7.5=0\] \[\begin{align} \Rightarrow \quad x&=\frac{-5 \pm \sqrt{25+4 \times 2.5 \times 7.5}}{5} \\ &=\frac{-5 \pm 10}{5} \end{align}\]
Por lo tanto, estas dos curvas se intersecan en \(x=-3\) y \(x=1\).
Ahora necesitamos encontrar las pendientes de estas dos curvas en \(x=3\) y \(x=1\).
\[\begin{align} & y=3.5 x^{2}+2 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=7 x \\ & y=x^{2}-5 x+9.5 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x-5 \end{align}\]
Cuando \(x=-3\), la pendiente de la primera curva es \(-21\) y la pendiente de la segunda curva es \(-11\).
Es decir \(\tan \alpha=-21\) y \(\tan \beta=-11\), donde \(\alpha\) y \(\beta\) son los ángulos que sus tangentes forman con la dirección positiva del eje \(x\).
\[\begin{gathered} \tan \alpha=-21 \Rightarrow \alpha=\arctan (-21) \approx-1.52 ~\mathrm{rad} \\ \text { o }\quad \alpha \approx-87.27^{\circ} \\ \tan \beta=-11 \Rightarrow \beta=\arctan (-11) \approx-1.48~ \mathrm{rad}\\ \text { o }\quad \beta \approx-84.81^{\circ} \end{gathered}\] Por lo tanto, el ángulo entre ellas cuando \(x=3\) es \(87.27-84.81=2.47^{\circ}\) o
\[\text { ángulo }=2^{\circ}+0.47 \times 60^{\prime} \approx 2^{\circ} 28^{\prime}\]
De manera similar, cuando \(x=1\), la pendiente de la primera curva es \(7\). \[\tan \alpha=7 \Rightarrow \alpha=\arctan 7 \approx 1.429~\mathrm{rad}\] o \[\alpha \approx 81.87^\circ\]
La pendiente de la segunda curva es \(-3\). \[\tan \beta=-3 \Rightarrow \beta=\arctan (-3) \approx-1.249~\mathrm{rad}\] o \[\beta \approx-71.57^{\circ}\] Por lo tanto, el ángulo entre ellas cuando \(x=1\) es \(81.87+71.57=153.44\) o \[\text { ángulo }=153^{\circ}+0.44 \times 60^{\prime} \approx 153^{\circ} 26^{\prime}\]
Ejercicio 10.9. Se trazan tangentes a la curva \(y = \pm \sqrt{25-x^2}\) en los puntos para los cuales \(x = 3\) y \(x = 4\). Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las tangentes y su inclinación mutua.
Respuesta
Intersección en \(x =\frac{25}{7}\approx 3.57\), \(y=\frac{25}{7}\approx 3.57\). Ángulo \(16^\circ\;16'\).
Solución
Consideremos \(y>0\). El caso donde \(y<0\) puede obtenerse luego por simetría. \[\begin{align} y & =+\sqrt{25-x^{2}} \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{-2 x}{2 \sqrt{25-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}} \end{align}\]
Cuando \(x=3, \quad \dfrac{d y}{d x}=\frac{-3}{4}\).
Cuando \(x=3,\quad y=4\).
La ecuación de la recta tangente en \(x=3\) e \(y>0\) es entonces \[y-4=-\frac{3}{4}(x-3)\] o \[y=-\frac{3}{4} x+\frac{25}{4}\]
Cuando \(x=4,\quad \dfrac{d y}{d x}=-\frac{4}{3}\).
Cuando \(x=4,\quad y=3\).
La ecuación de la recta tangente es
\[y-3=-\frac{4}{3}(x-4)\] o \[y=-\frac{4}{3} x+\frac{25}{3}\]
Para encontrar la intersección de las rectas tangentes en \(x=3\) y \(x=4\) (para \(y>0\)), igualamos las ecuaciones de estas dos líneas tangentes:
\[\begin{align} -\frac{3}{4} x+\frac{25}{4} & =-\frac{4}{3} x+\frac{25}{3} \\ \Rightarrow\ \frac{7}{12} x & =\frac{25}{12} \\ \Rightarrow\ x & =\frac{25}{7} \approx 3.57 \end{align}\]
Cuando \(x=\frac{25}{7}, y=-\frac{3}{4} \times \frac{25}{7}+\frac{25}{4}=\frac{25}{7} \approx 3.57\). Por lo tanto, estas dos rectas tangentes se intersecan en el punto \(\left(\frac{25}{7},\frac{25}{7}\right)\approx (3.57, 3.57)\).
Dado que la pendiente de la primera recta tangente es \(-3/4\), el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo es \[\alpha=\arctan \left(-\frac{3}{4}\right) \approx-0.643 \text { rad }\] o \[\alpha \approx-36.87^{\circ}\] De manera similar, la pendiente de la segunda recta tangente es \(-\frac{4}{3}\) y, por lo tanto, el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo es \[\beta=\arctan\left(-\frac{4}{3}\right)\approx -0.927~\text{rad}\] o \[\beta\approx -53.13^\circ\]
Por lo tanto, el ángulo entre ellas es \(53.13^{\circ}-36.87^{\circ}=16.26^{\circ}\) o \[16^{\circ}+0.26 \times 60^{\prime} \approx 16^{\circ} 16^{\prime}\]
Ejercicio 10.10. Una línea recta \(y = 2x - b\) toca una curva \(y = 3x^2 + 2\) en un punto. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de contacto y cuál es el valor de \(b\)?
Respuesta
\(x = \frac{1}{3}\), \(y = 2 \frac{1}{3}\), \(b = -\frac{5}{3}\).
Solución
La pendiente de \(y=2 x-b\) es 2. Tenemos que encontrar en qué punto la pendiente de la tangente a \(y=3 x^{2}+2\) es \(2\), derivamos \(y=3x^2+2\)
\[\frac{d y}{d x}=6 x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{3}\] Cuando \(x=\frac{1}{3}, \quad y=3 \times \frac{1}{3^{2}}+2=\frac{7}{3}\).
Por lo tanto, el punto de contacto es \(\left(\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)\).
La ecuación de la línea tangente en este punto es, por lo tanto, \[y-\frac{7}{3}=2\left(x-\frac{1}{3}\right)\] o \[y=2 x+\frac{5}{3}\]
Por lo tanto \[b=-\frac{5}{3}\]
Puede ir a https://www.wolframalpha.com/ y en la barra de búsqueda simplemente escriba «plot x^2+sin x from x=-2 to x=3» para graficar la curva \(x^2+\sin x\) entre \(x=-2\) y \(x=3\)↩︎
El ángulo entre dos curvas es el ángulo entre sus rectas tangentes.↩︎
