La integral definida

Sea $y=f(x)$ una función continua para $a\leqq x\leqq b$. Trazamos su gráfica; por ejemplo, podría ser como se muestra en la gráfica de la página siguiente.

Ahora definamos un número que llamaremos la integral (definida) de a a b de $f(x)$, y para el cual escribimos

$${\int }_a^{b}f(x)dx,$$

como sigue:

Consideremos el área acotada por la gráfica de $y=f(x)$, el eje x, la recta $x=a$ y la recta $x=b$. Si una parte de esta área se encuentra por encima del eje x, la consideraremos positiva. Si una parte se encuentra por debajo del eje x, la consideraremos negativa. Así tenemos la disposición de signos que se muestra en el diagrama.

Entonces definimos

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

como simplemente la suma algebraica de estas áreas, tomadas con los signos correspondientes.

Si $b\leqq a$, definimos

$${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx,$$

ya que

$${\int }_b^{a}f(x)dx$$

queda entonces definido de la manera anterior. En particular, tenemos

$${\int }_a^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{a}f(x)dx,$$

o

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0.$$

Además, si $a,b,c$ son números cualesquiera tales que $f(x)$ es continua en el intervalo más pequeño que los contiene a todos, entonces

$${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx.$$

Si $a\leqq b\leqq c$, esto es obvio a partir de la definición. Se deja como ejercicio verificarlo en los otros casos.

Ahora supongamos que $x$ está en el intervalo $a\leqq t\leqq b$. Entonces

$${\int }_a^{x}f(t)dt$$

ha quedado definido, donde consideramos $x$ como fija por el momento, y denotamos nuestra variable por $t$. Consideremos esto como una función $F(x)$. Entonces el cociente de diferencias para $F(x)$ es

\begin{aligned} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} &= \frac{\displaystyle \int_{a}^{x+h} f(t)dt - \int_{a}^{x} f(t)dt}{h} \\ &= \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt \end{aligned}

por la observación anterior.

Ahora sea $M$ el máximo de $f(t)$ en el intervalo entre $x$ y $x+h$, $m$ su mínimo. Entonces afirmamos que si ,

$$Mh\geqq {\int }_x^{x+h}f(t)dt\geqq mh,$$

o

$$M\geqq \frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt\geqq m.$$

La primera desigualdad se invierte si , pero la segunda sigue siendo válida. Mostraremos esto en el caso donde . La idea para los casos restantes será entonces clara. Como $f(t)$ es continua, podemos suponer que $h$ es suficientemente pequeño para que para todo $t$ entre $x$ y $x+h$. Entonces nuestra afirmación equivale a decir que el área bajo la gráfica de $f(t)$ entre $x$ y $x+h$ está entre el área de un rectángulo de anchura $h$ cuya altura es el valor mínimo de $f(t)$ en este intervalo y la de un rectángulo de anchura $h$ y altura el valor máximo de $f(t)$ en el intervalo, como se muestra en el diagrama de la página siguiente.

Pero dado que $f(t)$ es continua en $x,f(t)$ tiende a $f(x)$ para todo $t$ entre $f(x)$ y $f(x+h)$, cuando $h$ tiende a 0. Como $M$ y $m$ son valores de $f(t)$, también tienden a $f(x)$. Así tenemos

$$f(x)=\underset{h\to 0}{lim}M\geqq \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt\geqq \underset{h\to 0}{lim}m=f(x);$$

pero entonces todos estos son iguales, y F'(x) = f(x).

Ahora tenemos un procedimiento para evaluar

$${\int }_a^{b}f(t)dt.$$

Primero encontramos cualquier función $G(x)$ tal que G'(x) = f(x) para $a\leqq x\leqq b$; tal función se llama una integral indefinida, o una antiderivada, de $f(x)$. Entonces sabemos que

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

tiene la propiedad de que F'(x) = f(x) = G'(x). Por lo tanto $F(x)=G(x)+c$, donde $c$ es alguna constante. Pero $F(a)=0$, así que $c=-G(a)$. Entonces

$${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)=G(b)+c=G(b)-G(a).$$

A menudo escribimos esto simplemente como

$${\int }_a^{b}f(x)dx=G(x){|}_a^b=G(b)-G(a).$$

Esto se conoce como el teorema fundamental del cálculo.

El resultado nos permite resolver el problema de encontrar áreas que ocupó a los matemáticos griegos durante siglos. Ellos tenían algunas técnicas especiales que extenderán la clase de funciones que podemos manejar.

Nota. Una vez más tenemos una operación lineal; si $F(x)$ es una integral indefinida de $f(x),G(x)$ una para $g(x)$, entonces

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x),

o $F(x)+G(x)$ es una integral indefinida para $f(x)+g(x)$. Asimismo, $cF(x)$ es una integral indefinida para $cf(x)$. Para integrales definidas, con $F(x),f(x),G(x),g(x)$ y $c$ como arriba, tenemos

\begin{aligned} \int_{a}^{b} (f(t) + g(t))dt &= (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\\[4pt] &= (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a)) \\[4pt] &= \int_{a}^{b} f(t)dt + \int_{a}^{b} g(t)\,dt \end{aligned}

y

\begin{aligned} \int_{a}^{b} cf(t)dt &= cF(b) - cF(a) \\ &= c(F(b) - F(a)) \\ &= c \int_a^{b} f(t)\,dt. \end{aligned}

Obsérvese también que cualesquiera dos integrales indefinidas de $f(x)$ difieren solo en una constante.

Ejemplos

Al examinar las reglas para la derivación, verá que las integrales indefinidas siguientes son correctas; escribimos

$$\int f(x)dx=F(x)$$

para significar simplemente que $F(x)$ es una integral indefinida de $f(x)$, o que F'(x) = f(x):

1. ${\displaystyle \int e^{x}dx=e^x;}$
2. ${\displaystyle \int \cos xdx=\sin x;}$
3. ${\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x;}$
4. ${\displaystyle \int {\sec }^{2}xdx=\tan x;}$
5. ${\displaystyle \int x^{b}dx=\frac{1}{b+1}{x}^{b+1},}$ $b$ un número racional positivo;
6. ${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{1}{\log a}\cdot a^x,}$

En las reglas 1) y 6), seguimos discutiendo funciones de las cuales no tenemos conocimiento real. Asimismo, podríamos haber escrito

$$\int \frac{1}{x}dx=\log x,$$

pero esto y las reglas anteriores deben considerarse por el momento solo como piezas de información útiles para desarrollar técnica. En la siguiente sección definiremos $\log x$ en términos de una integral.

Observe que cuando escribimos

$${\int }_a^{b}f(x)dx,$$

la expresión carece de significado para nosotros a menos que $f(x)$ esté definida y sea continua en todo el intervalo $a\le x\le b$. Así,

$${\int }_0^4\frac{1}{x}dx$$

no está definida, como tampoco lo está

$${\int }_{-1}^1\sqrt{x}dx.$$

La integral definida puede definirse de tal manera que más funciones caigan en su dominio (aunque ninguna de estas dos lo hace), pero no profundizaremos más en esta cuestión.

Ejercicios