La función log x

Sea $x > 0$ . Entonces la función $f (t) = \frac{1}{t}$ está definida y es continua en el intervalo entre $t = 1$ y $t = x$ . Definimos una función para $x > 0$ , que llamaremos $\log x$ , mediante

\log x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t

Obviamente esta función tiene una propiedad que hemos atribuido a aquella función bastante indefinida que previamente escribimos como $\log x$ : a saber, (\log x)' = \frac{1}{x}. La siguiente propiedad básica que demostramos es

\log (a b) = \log a + \log b

Pero para cualquier $a$ fija, considere $\log (a x)$ como una función de $x$ . Entonces

(\log (ax))' = \frac{1}{ax} \cdot a = \frac{1}{x} = (\log x)'

Por lo tanto $\log (a x) = \log x + c$ , $c$ alguna constante. Para $x = 1$ , tenemos

\log a = \log 1 + c

Como

\log 1 = 0 (= \int_{1}^{1} \frac{1}{t} d t),

$c = \log a$ , y $\log (a x) = \log x + \log a$ . Esto es lo que deseábamos demostrar.

Ahora sea $a > 1$ ; entonces $\log a ≦ a - 1$ , pues esta es el área del rectángulo más grande en el diagrama de abajo.

El rectángulo más pequeño tiene área $(a - 1) \cdot \frac{1}{a} ≦ \log a$ . Así tenemos para $a > 1$ ,

a - 1 ≧ \log a ≧ \frac{a - 1}{a} = 1 - \frac{1}{a} .

Esto es una igualdad cuando $a = 1$ , por lo que es verdadera siempre que $a ≧ 1$ . Ahora si $a < 1$ , entonces $\frac{1}{a} > 1$ , y tenemos

\frac{1}{a} - 1 ≧ \log \frac{1}{a} ≧ 1 - \frac{1}{1 / a}

por lo anterior. Ahora

\log a + \log \frac{1}{a} = \log 1 = 0,

así que

\log \frac{1}{a} = - \log a .

Esto da

\frac{1}{a} - 1 ≧ - \log a ≧ 1 - a,

o, invirtiendo los signos,

\tag{*} a - 1 \geqq \log a \geqq 1 - \frac{1}{a}

Así hemos demostrado la desigualdad (*) para todo $a > 0$ .

Usemos esta desigualdad para derivar algunas propiedades de $\log x$ .
Usando $a = 1 + \frac{1}{n}$ , $n$ un entero positivo, encontramos

\frac{1}{n} ≧ \log (1 + \frac{1}{n}) ≧ 1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}

Como $n (\log a) = \log (a^{n})$ (demuéstrelo por inducción), tenemos

1 = \frac{n}{n} ≧ n \log (1 + \frac{1}{n}) = \log (1 + \frac{1}{n})^{n} ≧ \frac{n}{n + 1} \cdot

Ahora, a medida que $n$ se hace grande, $\frac{n}{n + 1}$ se aproxima a $1$ . Por lo tanto $\log (1 + \frac{1}{n})^{n}$ está entre $1$ y una cantidad que se aproxima a $1$ , y por lo tanto debe aproximarse a $1$ . Escribimos esto como

lim_{n \to \infty} \log {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1.

A continuación considere la expresión $\log (2^{n}) = n \log 2 ≧ n (1 - \frac{1}{2}) = \frac{n}{2}$ . A medida que $n$ se hace grande, $\frac{n}{2}$ también se hace grande, y en consecuencia $\log (2^{n})$ se hace tan grande como deseemos. De manera similar, $\log (2^{- n}) ≦ - \frac{n}{2}$ , y a medida que $n$ se hace arbitrariamente grande, $\log (2^{- n})$ se hace arbitrariamente pequeño (es decir, muy negativo). Así vemos que $\log x$ toma valores arbitrariamente grandes y arbitrariamente pequeños.

$\log x$ es continua en todo $x > 0$ , ya que es derivable. Además, es estrictamente creciente. Si $x_{1} < 1, x_{2} ≧ 1$ , es claro que $\log x_{1} < 0 ≦ \log x_{2}$ . Si $1 ≦ x_{1} < x_{2}$ , entonces el área bajo $y = 1 / x$ de $1$ a $x_{1}$ es evidentemente menor que la de $1$ a $x_{2}$ , de modo que de nuevo $\log x_{1} < \log x_{2}$ . Finalmente, si $x_{1} < x_{2} < 1$ , el área de $x_{1}$ a $1$ es mayor que la de $x_{2}$ a $1$ ; pero los logaritmos son estas áreas tomadas con signo negativo, dando una vez más $\log x_{1} < \log x_{2}$ . Así hemos demostrado la afirmación.

La función log x

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