Inducción matemática

El principio de inducción que mencionamos anteriormente es una afirmación sobre los enteros positivos. Se lee como sigue:

Principio de Inducción. Sea $P (n)$ una afirmación sobre el entero positivo $n$ . Supongamos que:

(a) La afirmación $P (1)$ es verdadera;

(b) Si la afirmación $P (k)$ es verdadera para un entero $k$ dado, entonces la afirmación $P (k + 1)$ también es verdadera.

Entonces la afirmación $P (n)$ es verdadera para todo $n$ .

Si pensamos en esto un poco, deberíamos ver que está completamente en consonancia con nuestra intuición. Hay varios modelos que nos ayudan a visualizar el principio. En uno de esos modelos, consideramos un sistema de fichas de dominó colocadas de canto, alineadas de modo que si una se inclina hacia la siguiente, la derribará hacia la que le sigue. Este es el análogo de la hipótesis (b). El análogo de (a) es simplemente que podemos derribar la primera. Pero entonces esta volcará la segunda, que golpeará a la tercera, ... . Escribiendo suficientes pasos de este tipo, podríamos llegar a cualquier ficha de dominó especificada, o a la afirmación $P (n)$ para cualquier $n$ prescrito. Sin embargo, ya hemos visto que las hipótesis (a) y (b) son lo esencial de este proceso, y que podemos ahorrarnos toda esta escritura simplemente demostrando que son válidas.

Como ejemplo, demos una demostración por inducción de una fórmula para la suma de una progresión aritmética familiar:

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} .

Entonces $P (n)$ es la afirmación de que la suma de los primeros $n$ enteros es igual a $\frac{n (n + 1)}{2}$ . Así, $P (1)$ dice que la suma del primer entero, o 1, es igual a $\frac{1 (1 + 1)}{2} = 1$ . Por lo tanto, la hipótesis (a) se cumple. Ahora bien, la hipótesis (b) comienza con: "Si $P (k)$ es verdadera,". Esto significa que debemos suponer que $P (k)$ es verdadera, y ver si la verdad de $P (k + 1)$ es una consecuencia de esta suposición. Así, comenzamos suponiendo

P (k) : 1 + 2 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2} .

Entonces debemos considerar la suma

1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = (1 + 2 + \dots + k) + (k + 1) .

Pero, por lo que estamos suponiendo,

1 + 2 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2} = (k + 1) \cdot \frac{k}{2} .

Por lo tanto

1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = (k + 1) (\frac{k}{2} + 1) = (k + 1) (\frac{k + 2}{2}),

1 + 2 + \dots + (k + 1) = \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2},

que es $P (k + 1)$ . Así, (a) y (b) se cumplen, y $P (n)$ vale para todo $n$ por inducción.

Ejercicios

Ejercicio 1.

Demuestre que $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Ejercicio 2.

Demuestre que (f_1 + f_2 + \dots + f_n)' = f_1' + f_2' + \dots + f_n' .

Ejercicio 3.

Demuestre que (f_1 f_2 \dots f_n)' = f_1' f_2 \dots f_n + f_1 f_2' f_3 \dots f_n + \dots + f_1 \dots f_{n-1} f_n' .

Ejercicio 4.

Muestre que la hipótesis (b) se cumple para $P (n) : n = n + 2,$ lo cual es obviamente falso.

Ejercicio 5.

Dé un ejemplo de una $P (n)$ que sea falsa para $n > 1$ pero para la cual la hipótesis (a) se cumple.

Ejercicio 6.

Demuestre que $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}, n = 1, 2, 3, \dots .$

Ejercicio 7.

Demuestre que
$(1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) (1 - \frac{1}{16}) \dots (1 - n^{- 2}) = \frac{n + 1}{2 n}$

para $n = 2, 3, 4, \dots .$

Inducción matemática

Ejercicios

Enlaces rápidos

Redes sociales