Curvas en forma paramétrica. Fundamentos de la mecánica

La ilustración siguiente es un ejemplo de algo que solemos llamar una curva, pero que no puede describirse como la gráfica de una función; pues hay puntos donde varios valores de $y$ corresponden a un mismo valor de $x$ .

Entonces, ¿cómo podemos definir una curva de modo que incluya este caso? Cuando dibujamos la curva, comenzamos con el lápiz en algún punto y lo movimos. Después de $t$ segundos, el lápiz estaba en un nuevo punto $(x (t), y (t))$ de la curva, y cualquier punto de la curva podía alcanzarse después de algún tiempo (quizás incluyendo un viaje hacia atrás en el tiempo). Ahora bien, $x (t)$ es una función de $t$ , a saber, "la coordenada $x$ del lápiz en el tiempo $t$ ", y de igual manera $y (t)$ es una función de $t$ . El hecho de que dibujemos la curva en un movimiento continuo se expresa diciendo que $x (t)$ y $y (t)$ son funciones continuas. Así, nos lleva a hacer la siguiente definición:

Definición 1.

Una curva continua en el espacio $n$ -dimensional es una $n$ -tupla de funciones continuas $(x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))$ de una sola variable $t$ .

La gráfica de una función es un caso especial; la curva descrita por la gráfica de $y = f (x)$ puede escribirse en esta "forma paramétrica" usando $x$ como la variable $t$ . Entonces la curva es $(t, f (t))$ . Para un $t$ dado, podemos considerar

X (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))

ya sea como un punto en el espacio $n$ -dimensional o como un vector. Así, es posible realizar operaciones vectoriales con esta cantidad. En muchas de nuestras referencias a una curva, consideraremos $t$ como el tiempo. Por ejemplo, definimos la velocidad en el tiempo $t$ de un punto sobre la curva como

X'(t) = (x_1'(t), x_2'(t), \dots, x_n'(t))

si existe. Definimos la aceleración en el tiempo $t$ como

X''(t) = (x_1''(t), x_2''(t), \dots, x_n''(t))

si existe.

Dado que realmente no podemos obtener una noción intuitiva adecuada de la aceleración, podemos considerar que nuestra definición de aceleración no requiere justificación. La definición de velocidad es un caso límite de una "velocidad promedio", como sigue:

En el tiempo $t$ , sea $X (t)$ el punto correspondiente de la curva; en el tiempo $t + h$ , el punto es entonces $X (t + h)$ . Si solo conociéramos estos dos puntos, el tipo más simple de movimiento que se puede suponer entre ellos es el movimiento en línea recta a un ritmo constante. Esto significa que el vector $X (t + h) - X (t)$ se recorre en el tiempo $h$ a un ritmo constante. Este ritmo, junto con su dirección, está dado entonces por

\frac{X (t + h) - X (t)}{h} = (\frac{x_{1} (t + h) - x_{1} (t)}{h}, \dots, \frac{x_{n} (t + h) - x_{n} (t)}{h}) \cdot

La velocidad en el tiempo $t$ es entonces el límite de esta velocidad promedio a medida que el tiempo $h$ sobre el cual se toma el promedio tiende a cero, y el resultado es simplemente X'(t).

Usamos la velocidad para obtener una definición de la tangente a la curva: la recta tangente a $X (t)$ en $t = t_{0}$ es la recta que pasa por $X (t_{0})$ y es paralela al vector velocidad en $t_{0}$ , es decir, X'(t_0). Así, es el conjunto de puntos

X(t_0) + s X'(t_0),

donde $s$ recorre todos los números.

Con los conceptos que hemos desarrollado hasta ahora, podemos formular las nociones básicas de la mecánica de Newton y derivar con bastante facilidad una serie de consecuencias importantes. Para empezar, tenemos ciertos conceptos que llamaremos nociones primarias; son formulaciones matemáticas de cantidades observables en la naturaleza. Estas son:

Tiempo (un número $t$ , considerado como medido sobre una escala fija).
Posición (una función vectorial (o puntual) $X (t)$ del tiempo).
Masa (un número $m > 0$ asociado a un punto dado, o "partícula").
Fuerza (un vector $F$ ).
A partir de estas, derivamos algunas nociones adicionales, definidas como sigue:
Velocidad: X'(t)
Aceleración: X''(t)
Momento: m X'(t)
Momento angular respecto al punto $P$ : m((X(t) - P) \times X'(t)) (aquí y dondequiera que se usen productos vectoriales, estamos considerando únicamente el espacio de $3$ dimensiones).
Energía cinética: \frac{1}{2} m (X'(t))^2
Momento de la fuerza $F$ que actúa en el punto $X$ respecto al punto $P$ : $(X - P) \times F \cdot$

Estas nociones están sujetas a ciertas leyes fundamentales, que son realmente las de Newton. La primera es simple:

I. F = m X''(t), o en palabras:
La fuerza que actúa sobre una partícula en $X (t)$ es el producto de su masa por su aceleración.

Las otras leyes requieren un poco más de explicación. Un sistema mecánico es una colección de partículas con posiciones $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\dots$ , $X_{N}$ , cada una dependiente del tiempo, y que tienen masas respectivas $m_{1}$ , $m_{2}$ , $\dots$ , $m_{N}$ . Sea $F_{i}$ la fuerza que actúa sobre la $i$ -ésima partícula. Entonces, por I, F_i=m_i X_i^{\prime\prime}. $F_{i}$ se compone de una fuerza externa ${\bar{F}}_{i}$ , que proviene del exterior del sistema, y otras "fuerzas internas" $F_{i j}$ , donde $F_{i j}$ es la fuerza ejercida por la $j$ -ésima partícula sobre la $i$ -ésima. Así

F_{i} = {\bar{F}}_{i} + F_{i 1} + F_{i 2} + \dots + F_{i N},

lo cual escribimos más brevemente como

F_{i} = {\bar{F}}_{i} + \sum_{j = 1}^{N} F_{i j} \cdot

Las otras leyes conciernen a las $F_{i j}$ :

II. $F_{i j} = - F_{j i}$ ("la acción es igual a la reacción"; en particular, $F_{i i} = 0$ ).

III. $F_{i j}$ es paralela a $X_{i} - X_{j}$ , es decir, la fuerza ejercida por una partícula sobre otra actúa a lo largo de la recta que las une.

Consideremos por un momento el caso en que todas las fuerzas externas ${\bar{F}}_{i}$ son cero (un sistema cerrado). Entonces

m_i X_i'' = F_i = \sum_{j=1}^N F_{ij} \cdot

Si sumamos las fuerzas que actúan sobre todas las partículas, vemos que

\sum_{i=1}^N m_i X_i'' = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N F_{ij} \cdot

Ahora bien, todas las $F_{i i} = 0$ , y si $i \neq j$ , cada una de $F_{i j}$ y $F_{j i}$ aparece exactamente una vez en la suma doble de la derecha. Como $F_{i j} = - F_{j i}$ , su suma es $0$ , y por lo tanto toda la suma doble es cero.
Así

\sum_{i=1}^N m_i X_i'' = 0 \cdot

Dado que (m_i X_i')' = m_i X_i'', tenemos

\left( \sum_{i=1}^N m_i X_i' \right)' = 0,

o

el momento total \sum m_i X_i' es una constante $A$ .

Entonces $\sum m_{i} X_{i} = A t + B$ para algún vector fijo $B$ (todos nuestros resultados para funciones con valores vectoriales se siguen de aquellos para funciones ordinarias considerando las componentes por separado). Si hacemos $m = \sum m_{i}$ la masa total y sea $Y$ el vector $\frac{1}{m} \sum m_{i} X_{i} = \sum \frac{m_{i}}{m} X_{i}$ , tenemos

m Y = A t + B \cdot

El punto $Y$ se llama el centro de masa del sistema. Vemos que

en ausencia de fuerzas externas, el centro de masa se mueve linealmente con velocidad constante.

Si $X (t)$ y $Y (t)$ son funciones con valores vectoriales en el espacio de 3 dimensiones, se deja como ejercicio verificar que

(X \times Y)' = (X' \times Y) + (X \times Y').

En particular,

(X \times X')' = (X' \times X') + (X \times X'') = X \times X'' \cdot.

En un sistema cerrado,

m_i X_i'' = \sum_{j=1}^N F_{ij},

y por lo tanto

m_i(X_i \times X_i'') = X_i \times m_i X_i'' = \sum_{j=1}^N (X_i \times F_{ij}) \cdot

De nuevo, sumemos sobre todas las partículas. Mostraremos que

\sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i'') = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N (X_i \times F_{ij}) = 0 \cdot

Como cuando mostramos que

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} F_{i j} = 0,

será suficiente mostrar que cada par de términos

X_{i} \times F_{i j} y X_{j} \times F_{j i}

se cancelan cuando $i \neq j$ . Ahora bien, $F_{j i} = - F_{i j},$ de modo que la suma de estos dos es

(X_{i} - X_{j}) \times F_{i j} .

Por III, esto es $0$ . Así queda demostrada nuestra afirmación.
Pero

\sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i'') = \left( \sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i') \right)'

es la derivada del momento angular total (respecto a $0$ ). Por lo tanto, concluimos que

el momento angular total de un sistema cerrado es una constante.

(Se deja como ejercicio el caso en que $0$ se reemplaza por cualquier otro punto $P$ .)

Ahora consideremos el caso con fuerzas externas ${\bar{F}}_{i}$ . Por el hecho de que la suma de las fuerzas internas es $0$ , vemos que

\sum_{i=1}^N m_i X_i'' = \sum_{i=1}^N \bar{F}_i,

o que

\left( \sum_{i=1}^N m_i X_i' \right)' = \sum_{i=1}^N \bar{F}_i \cdot

es decir,

la derivada del momento total es la suma de las fuerzas externas.

Dado que mY'' = \sum m_i X_i'', vemos que el centro de masa del sistema se mueve como una partícula de masa $m$ sobre la que actúan las fuerzas externas totales.

Además,

m_i(X_i \times X_i'') = (X_i \times \bar{F}_i) + \sum_{j=1}^N (X_i \times F_{ij}) \cdot

Sumando como antes,

\left( \sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i') \right)' = \sum_{i=1}^N m_i(X_i \times X_i'') = \sum_{i=1}^N (X_i \times \bar{F}_i),

o sea, la derivada del momento angular total es la suma de los momentos de las fuerzas externas.

Cuando tenemos solo una partícula, todas las $F_{i j} = 0$ , y ${\bar{F}}_{i}$ es paralela a $X_{i} \cdot$ Suponemos que el origen es la fuente de la fuerza ${\bar{F}}_{1} \cdot$ Omitimos los índices $i$ por ser innecesarios. Entonces (m(X \times X'))' = (X \times \bar{F}) = 0. Aplicado al sistema solar con la suposición de que la única fuerza no despreciable que actúa sobre un planeta es la del sol, vemos que la derivada del momento angular de un planeta respecto al sol es $0$ , o que su momento angular respecto al sol es una constante. Esta es una formulación de la ley de Kepler según la cual un planeta barre área a un ritmo constante.

Curvas en forma paramétrica. Fundamentos de la mecánica

Enlaces rápidos

Redes sociales