Proyecciones perpendiculares

Ahora estamos en posición de cumplir nuestra promesa anterior de investigar las proyecciones asociadas con las descomposiciones de suma directa particulares $𝒱 = ℳ \oplus ℳ^{⟂}$ . Llamaremos a tal proyección una proyección perpendicular . Dado que $ℳ^{⟂}$ está únicamente determinado por el subespacio $ℳ$ , no necesitamos especificar ambos sumandos directos asociados con una proyección si ya sabemos que es perpendicular. Llamaremos a la proyección (perpendicular) $E$ en $ℳ$ a lo largo de $ℳ^{⟂}$ simplemente la proyección en $ℳ$ y escribiremos $E = P_{ℳ}$ .

Teorema 1. Una transformación lineal $E$ es una proyección perpendicular si y solo si $E = E^{2} = E^{*}$ . Las proyecciones perpendiculares son transformaciones lineales positivas y tienen la propiedad de que $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ para todo $x$ .

Demostración. Si $E$ es una proyección perpendicular, entonces Sección: Adjuntos de proyecciones , Teorema 1 y el teorema de Sección: Dual de una suma directa muestran (después, por supuesto, de los reemplazos usuales, tales como $ℳ^{⟂}$ para $ℳ^{0}$ y $A^{*}$ para ) que $E = E^{*}$ . Recíprocamente si $E = E^{2} = E^{*}$ , entonces la idempotencia de $E$ nos asegura que $E$ es la proyección en $ℛ$ a lo largo de $𝒩$ , donde, por supuesto, $ℛ = ℛ (E)$ y $𝒩 = 𝒩 (E)$ son la imagen y el núcleo de $E$ , respectivamente. Por lo tanto solo necesitamos mostrar que $ℛ$ y $𝒩$ son ortogonales. Para este propósito sea $x$ cualquier elemento de $ℛ$ e $y$ cualquier elemento de $𝒩$ ; el resultado deseado se sigue de la relación $(x, y) = (E x, y) = (x, E^{*} y) = (x, E y) = 0.$ El carácter positivo de un $E$ que satisface $E = E^{2} = E^{*}$ se sigue de Aplicando este resultado a la proyección perpendicular $1 - E$ , vemos que esto concluye la prueba del teorema. ◻

Para algunas de las generalizaciones de nuestra teoría es útil saber que la idempotencia junto con la última propiedad mencionada en el Teorema 1 es también característica de las proyecciones perpendiculares.

Teorema 2. Si una transformación lineal $E$ es tal que $E = E^{2}$ y $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ para todo $x$ , entonces $E = E^{*}$ .

Demostración. Debemos mostrar que la imagen $ℛ$ y el núcleo $𝒩$ de $E$ son ortogonales. Si $x$ está en $𝒩^{⟂}$ , entonces $y = E x - x$ está en $𝒩$ , puesto que $E y = E^{2} x - E x = E x - E x = 0.$ Por lo tanto $E x = x + y$ con $(x, y) = 0$ , de modo que $‖ x ‖^{2} \geq ‖ E x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2} \geq ‖ x ‖^{2},$ y por lo tanto $y = 0$ . Consecuentemente $E x = x$ , de modo que $x$ está en $ℛ$ ; esto prueba que $𝒩^{⟂} \subset ℛ$ . Recíprocamente, si $z$ está en $ℛ$ , de modo que $E z = z$ , escribimos $z = x + y$ con $x$ en $𝒩^{⟂}$ e $y$ en $𝒩$ . Entonces $z = E z = E x + E y = E x = x .$ (La razón para la última igualdad es que $x$ está en $𝒩^{⟂}$ y por lo tanto en $ℛ$ .) Por lo tanto $z$ está en $𝒩^{⟂}$ , de modo que $ℛ \subset 𝒩^{⟂}$ , y por lo tanto $ℛ = 𝒩^{⟂}$ . ◻

También necesitaremos el hecho de que el teorema de Sección: Combinaciones de proyecciones sigue siendo verdadero si la palabra "proyección" se califica en todas partes por "perpendicular". Esta es una consecuencia inmediata de la caracterización anterior de proyecciones perpendiculares y del hecho de que sumas y diferencias de transformaciones autoadjuntas son autoadjuntas, mientras que el producto de dos transformaciones autoadjuntas es autoadjunto si y solo si conmutan. Por nuestros métodos geométricos presentes también es bastante fácil generalizar la parte del teorema que trata con sumas de dos sumandos a cualquier número finito. La generalización se establece más convenientemente en términos del concepto de ortogonalidad para proyecciones; diremos que dos proyecciones (perpendiculares) $E$ y $F$ son ortogonales si $E F = 0$ . (La consideración de adjuntos muestra que esto es equivalente a $F E = 0$ .) El siguiente teorema muestra que el lenguaje geométrico está justificado.

Teorema 3. Dos proyecciones perpendiculares $E = P_{ℳ}$ y $F = P_{𝒩}$ son ortogonales si y solo si los subespacios $ℳ$ y $𝒩$ (es decir, las imágenes de $E$ y $F$ ) son ortogonales.

Demostración. Si $E F = 0$ , y si $x$ e $y$ están en las imágenes de $E$ y $F$ respectivamente, entonces $(x, y) = (E x, F y) = (x, E^{*} F y) = (x, E F y) = 0.$ Si, recíprocamente, $ℳ$ y $𝒩$ son ortogonales (de modo que $𝒩 \subset ℳ^{⟂}$ ), entonces el hecho de que $E x = 0$ para $x$ en $ℳ^{⟂}$ implica que $E F x = 0$ para todo $x$ (ya que $F x$ está en $𝒩$ y consecuentemente en $ℳ^{⟂}$ ). ◻