Isometrías

Continuamos con nuestro programa de investigar la analogía entre números y transformaciones. ¿Cuándo tiene un número complejo $ζ$ valor absoluto uno? Claramente una condición necesaria y suficiente es que $\bar{ζ} = 1 / ζ$ ; guiados por nuestro principio heurístico, somos conducidos a considerar transformaciones lineales $U$ para las cuales $U^{*} = U^{- 1}$ , o, equivalentemente, para las cuales $U U^{*} = U^{*} U = 1$ . (Observamos que en un espacio vectorial de dimensión finita cualquiera de las dos condiciones $U U^{*} = 1$ y $U^{*} U = 1$ implica la otra; véase Sección: Inversas , Teoremas 1 y 2.) Tales transformaciones se llaman ortogonales o unitarias según sea el espacio con producto interior subyacente real o complejo. Procedemos a derivar un par de caracterizaciones alternativas útiles de ellas.

Teorema 1. Las siguientes tres condiciones en una transformación lineal $U$ en un espacio con producto interior son equivalentes entre sí.

Demostración. Si (1) se sostiene, entonces $(U x, U y) = (U^{*} U x, y) = (x, y)$ para todo $x$ e $y$ , y, en particular, $‖ U x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2}$ para todo $x$ ; esto prueba ambas implicaciones (1) $⟹$ (2) y (2) $⟹$ (3). La prueba puede ser completada mostrando que (3) implica (1). Si (3) se sostiene, es decir, si $(U^{*} U x, x) = (x, x)$ para todo $x$ , entonces Sección: Polarización , Teorema 2 es aplicable a la transformación (autoadjunta) $U^{*} U - 1$ ; la conclusión es que $U^{*} U = 1$ (como se desea). ◻

Dado que (3) implica que para todo $x$ e $y$ (la implicación inversa (4) $⟹$ (3) también es verdadera y trivial), vemos que transformaciones del tipo que el teorema trata se caracterizan por el hecho de que preservan distancias. Por esta razón llamaremos a tal transformación una isometría . Dado que, como ya hemos observado, una isometría en un espacio de dimensión finita es necesariamente ortogonal o unitaria (según sea el espacio real o complejo), el uso de esta terminología nos permitirá tratar los casos real y complejo simultáneamente. Observamos que (en un espacio de dimensión finita) una isometría es siempre invertible y que $U^{- 1}$ ( $= U^{*}$ ) es una isometría junto con $U$ .

En cualquier sistema algebraico, y en particular en espacios vectoriales generales y espacios con producto interior, es de interés considerar los automorfismos del sistema, es decir, considerar esas aplicaciones biyectivas del sistema sobre sí mismo que preservan todas las relaciones estructurales entre sus elementos. Ya hemos visto que los automorfismos de un espacio vectorial general son las transformaciones lineales invertibles. En un espacio con producto interior requerimos más de un automorfismo, a saber, que también preserve productos interiores (y consecuentemente longitudes y distancias). El teorema anterior muestra que este requisito es equivalente a la condición de que la transformación sea una isometría. (Asumimos aquí la finitud dimensional; en espacios de dimensión infinita el rango de una isometría no necesita ser todo el espacio. Este sacrificio inmaterial en generalidad es por conveniencia terminológica; para espacios de dimensión infinita no hay palabra de uso común que describa transformaciones ortogonales y unitarias simultáneamente.) Así las dos preguntas "¿Qué transformaciones lineales son análogos de números complejos de valor absoluto uno?" y "¿Cuáles son los automorfismos más generales de un espacio con producto interior de dimensión finita?" tienen la misma respuesta: isometrías. En la próxima sección mostraremos que las isometrías también proporcionan la respuesta a una tercera pregunta importante.