Transformaciones positivas

¿Cuándo es positivo un número complejo $ζ$ (es decir, $\geq 0$ )? Dos condiciones igualmente naturales necesarias y suficientes son que $ζ$ pueda escribirse en la forma $ζ = ξ^{2}$ con algún $ξ$ real, o que $ζ$ pueda escribirse en la forma $ζ = \bar{σ} σ$ con algún $σ$ (en general complejo). Recordando también el hecho de que (al menos para espacios unitarios) el carácter hermitiano de una transformación $A$ puede ser descrito en términos de los productos interiores $(A x, x)$ , podemos considerar cualquiera de las tres condiciones siguientes e intentar usarla como definición de positividad para transformaciones:

Antes de decidir cuál de estas tres condiciones usar como definición, observamos que (1) $⟹$ (2) $⟹$ (3). En efecto: si $A = B^{2}$ y $B = B^{*}$ , entonces $A = B B = B^{*} B$ , y si $A = C^{*} C$ , entonces $A^{*} = C^{*} C = A$ y $(A x, x) = (C^{*} C x, x) = (C x, C x) = ‖ C x ‖^{2} \geq 0.$ Es realmente verdadero que (3) implica (1), de modo que las tres condiciones son equivalentes, pero no podremos probar esto hasta más tarde. Adoptamos como nuestra definición la tercera condición.

Definición 1. Una transformación lineal $A$ en un espacio con producto interior es positiva , en símbolos $A \geq 0$ , si es autoadjunta y si $(A x, x) \geq 0$ para todo $x$ .

Más generalmente, escribiremos $A \geq B$ (o $B \leq A$ ) siempre que $A - B \geq 0$ . Aunque, por supuesto, es bastante posible que la diferencia de dos transformaciones que ni siquiera son autoadjuntas resulte ser positiva, generalmente escribiremos desigualdades solo para transformaciones autoadjuntas. Observe que para un espacio con producto interior complejo una parte de la definición de positividad es superflua; si $(A x, x) \geq 0$ para todo $x$ , entonces, en particular, $(A x, x)$ es real para todo $x$ , y, por el Teorema 4 de la sección anterior, $A$ debe ser positiva.

Las transformaciones positivas usualmente se llaman semidefinidas no negativas . Si $A \geq 0$ y $(A x, x) = 0$ implica que $x = 0$ , diremos que $A$ es estrictamente positiva; el término usual es definida positiva . Dado que la desigualdad de Schwarz implica que $| (A x, x) | \leq ‖ A x ‖ \cdot ‖ x ‖,$ vemos que si $A$ es una transformación estrictamente positiva y si $A x = 0$ , entonces $x = 0$ , de modo que, en un espacio con producto interior de dimensión finita, una transformación estrictamente positiva es invertible. Veremos más adelante que el recíproco es verdadero; si $A \geq 0$ y $A$ es invertible, entonces $A$ es estrictamente positiva. A veces es conveniente indicar el hecho de que una transformación $A$ es estrictamente positiva escribiendo $A > 0$ ; si $A - B > 0$ , también podemos escribir $A > B$ (o $B < A$ ).

Es posible dar una caracterización matricial de transformaciones positivas; pospondremos esta discusión para más tarde. Mientras tanto, tendremos ocasión de referirnos a matrices positivas, lo que significa matrices hermitianamente simétricas $(α_{i j})$ (es decir, $α_{i j} = \overset{―}{α_{j i}}$ ) con la propiedad de que para toda secuencia $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ de $n$ escalares tenemos $\sum_{i} \sum_{j} α_{i j} ξ_{i} ξ_{j} \geq 0$ . (En el caso real las barras pueden ser omitidas; en el caso complejo la simetría hermitiana se sigue de la otra condición.) Estas condiciones son claramente equivalentes a la condición de que $(α_{i j})$ sea la matriz, respecto a algún sistema de coordenadas ortonormal, de una transformación positiva.

Las reglas algebraicas para combinar transformaciones positivas son similares a las de transformaciones autoadjuntas en lo que concierne a sumas, múltiplos escalares e inversas; incluso la Sección: Transformaciones autoadjuntas , Teorema 2, sigue siendo válida si reemplazamos "autoadjunta" por "positiva" en todas partes. También es verdadero que si $A$ y $B$ son positivas, entonces una condición necesaria y suficiente de que $A B$ (o $B A$ ) sea positiva es que $A B = B A$ (es decir, que $A$ y $B$ conmuten), pero tendremos que posponer la prueba de esta afirmación por un tiempo.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. ¿Bajo qué condiciones en una transformación lineal $A$ la función de dos variables, cuyo valor en $x$ e $y$ es $(A x, y)$ , satisface las condiciones de un producto interior?

Ejercicio 2. ¿Cuáles de las siguientes matrices son positivas?

$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & i \\ - i & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

Ejercicio 3. ¿Para cuáles valores de $α$ es la matriz $[\begin{matrix} α & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$ positiva?

Ejercicio 4.

Si $A$ es autoadjunta, entonces $tr A$ es real.
Si $A \geq 0$ , entonces $tr A \geq 0$ .

Ejercicio 5.

Dé un ejemplo de una matriz positiva algunos de cuyos elementos son negativos.
Dé un ejemplo de una matriz no positiva todos cuyos elementos son positivos.

Ejercicio 6. Una condición necesaria y suficiente de que una matriz dos-por-dos $[\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix}]$ (considerada como una transformación lineal en $ℂ^{2}$ ) sea positiva es que sea hermitianamente simétrica (es decir, que $α$ y $δ$ sean reales y $γ = \bar{β}$ ) y que $α \geq 0$ , $δ \geq 0$ , y $α δ - β γ \geq 0$ .

Ejercicio 7. Asociado a cada secuencia $(x_{1}, \dots, x_{k})$ de $k$ vectores en un espacio con producto interior hay una matriz $k$ -por- $k$ (no una transformación lineal) llamada la Gramiana de $(x_{1}, \dots, x_{k})$ y denotada por $G (x_{1}, \dots, x_{k})$ ; el elemento en la $i$ -ésima fila y $j$ -ésima columna de $G (x_{1}, \dots, x_{k})$ es el producto interior $(x_{i}, x_{j})$ . Demuestre que toda Gramiana es una matriz positiva.

Ejercicio 8. Si $x$ e $y$ son vectores no nulos (en un espacio con producto interior de dimensión finita), entonces una condición necesaria y suficiente de que exista una transformación positiva $A$ tal que $A x = y$ es que $(x, y) > 0$ .

Ejercicio 9.

Si las matrices $A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ y $B = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ son consideradas como transformaciones lineales en $ℂ^{2}$ , y si $C$ es una matriz hermitiana (transformación lineal en $ℂ^{2}$ ) tal que $A \leq C$ y $B \leq C$ , entonces $C = [\begin{matrix} 1 + ϵ & θ \\ θ & 1 + δ \end{matrix}],$ donde $ϵ$ y $δ$ son números reales positivos y $| \bar{θ} |^{2} \leq min {ϵ (1 + δ), δ (1 + ϵ)}$ .
Si, además, $C \leq 1$ , entonces $ϵ = δ = θ = 0$ . En terminología moderna estos hechos en conjunto muestran que matrices hermitianas con el ordenamiento inducido por la noción de positividad no forman una retícula . En el caso real, si la matriz $[\begin{matrix} α & β \\ β & γ \end{matrix}]$ se interpreta como el punto $(α, β, γ)$ en espacio tridimensional, el ordenamiento y su carácter no reticular adoptan un aspecto geométrico divertido.