Polarización

Antes de continuar con el programa de estudiar las analogías entre números complejos y transformaciones lineales, nos tomamos un tiempo para recopilar algunos resultados auxiliares importantes sobre espacios con producto interior.

Teorema 1. Una condición necesaria y suficiente de que una transformación lineal $A$ en un espacio con producto interior sea $0$ es que $(A x, y) = 0$ para todo $x$ e $y$ .

Demostración. La necesidad de la condición es obvia; la suficiencia se sigue de establecer $y$ igual a $A x$ . ◻

Teorema 2. Una condición necesaria y suficiente de que una transformación lineal autoadjunta $A$ en un espacio con producto interior $A$ sea $0$ es que $(A x, x) = 0$ para todo $x$ .

Demostración. La necesidad es obvia. La prueba de suficiencia comienza verificando la identidad

(Expanda el primer término en el lado derecho.) Como $A$ es autoadjunta, el lado izquierdo de esta ecuación es igual a $2 Re (A x, y)$ . La condición asumida implica que el lado derecho se anula, y por lo tanto que $Re (A x, y) = 0$ . En este punto es necesario dividir la prueba en dos casos. Si el espacio con producto interior es real (es decir, $A$ es simétrica), entonces $(A x, y)$ es real, y por lo tanto $(A x, y) = 0$ . Si el espacio con producto interior es complejo (es decir, $A$ es hermitiana), entonces encontramos un número complejo $θ$ tal que $| θ | = 1$ y $θ (A x, y) = | (A x, y) |$ . (Aquí $x$ e $y$ se fijan temporalmente.) El resultado que ya tenemos, aplicado a $θ x$ en lugar de $x$ , da En cualquier caso, por lo tanto, $(A x, y) = 0$ para todo $x$ e $y$ , y el resultado deseado se sigue del Teorema 1. ◻

Es útil preguntar cuán importante es la autoadjuntez de $A$ en el Teorema 2; la respuesta es que en el caso complejo no es importante en absoluto.

Teorema 3. Una condición necesaria y suficiente de que una transformación lineal $A$ en un espacio unitario sea $0$ es que $(A x, x) = 0$ para todo $x$ .

Demostración. Como antes, la necesidad es obvia. Para la prueba de suficiencia usamos la llamada identidad de polarización :

(Así como para (1), la prueba consiste en expandir el primer término en el lado derecho.) Si $(A x, x)$ se anula idénticamente, entonces obtenemos, primero eligiendo $α = β = 1$ , y luego $α = i$ ( $= \sqrt{- 1}$ ), $β = 1$ Dividiendo la segunda de estas dos ecuaciones por $i$ y luego formando su media aritmética, vemos que $(A x, y) = 0$ para todo $x$ e $y$ , de modo que, por el Teorema 1, $A = 0$ . ◻

Este proceso de polarización a menudo se usa para obtener información sobre la "forma bilineal" $(A x, y)$ cuando solo se asume el conocimiento de la "forma cuadrática" $(A x, x)$ .

Es importante observar que, a pesar de su aparente inocencia, el Teorema 3 hace un uso muy esencial del sistema de números complejos; él y muchas de sus consecuencias no resultan ser verdaderas para espacios con producto interior reales. La prueba, por supuesto, se rompe en nuestra elección de $α = \sqrt{- 1}$ . Por ejemplo, considere una rotación de $90^{\circ}$ del plano; claramente tiene la propiedad de que envía cada vector $x$ a un vector ortogonal a $x$ .

Hemos visto que las transformaciones hermitianas juegan el mismo papel que los números reales; el siguiente teorema indica que están vinculadas con el concepto de realidad de formas más profundas que a través de la analogía formal que sugirió su definición.

Teorema 4. Una condición necesaria y suficiente de que una transformación lineal $A$ en un espacio unitario sea hermitiana es que $(A x, x)$ sea real para todo $x$ .

Demostración. Si $A = A^{*}$ , entonces $(A x, x) = (x, A^{*} x) = (x, A x) = \overset{―}{(A x, x)},$ de modo que $(A x, x)$ es igual a su propio conjugado y es por lo tanto real. Si, conversamente, $(A x, x)$ es siempre real, entonces $(A x, x) = \overset{―}{(A x, x)} = (x, A^{*} x) = (A^{*} x, x),$ de modo que $([A - A^{*}] x, x) = 0$ para todo $x$ , y, por el Teorema 3, $A = A^{*}$ . ◻

El Teorema 4 es falso para espacios con producto interior reales. Esto es de esperarse, porque, en primer lugar, su prueba depende de un teorema que es verdadero solo para espacios unitarios, y, en segundo lugar, en un espacio real la realidad de $(A x, x)$ es automática, mientras que la identidad $(A x, y) = (x, A y)$ no es necesariamente satisfecha.