Transformaciones autoadjuntas

Transformaciones autoadjuntas

Estudiemos ahora la estructura algebraica de la clase de todas las transformaciones lineales en un espacio con producto interior $𝒱$ . En muchos aspectos fundamentales esta clase se asemeja a la clase de todos los números complejos. En ambos sistemas se definen nociones de adición, multiplicación, $0$ , y $1$ , y tienen propiedades similares, y en ambos sistemas hay un anti-automorfismo involutorio del sistema sobre sí mismo (a saber, $A\to A^{\ast }$ y $\zeta \to \overline{\zeta }$ ). Usaremos esta analogía como un principio heurístico, e intentaremos llevar a transformaciones lineales algunos conceptos bien conocidos del dominio complejo. Seremos obstaculizados en este trabajo por dos dificultades en la teoría de transformaciones lineales, de las cuales, posiblemente sorprendentemente, la segunda es mucho más seria; son la imposibilidad de división irrestricta y la no conmutatividad de transformaciones lineales generales.

Los tres subconjuntos más importantes del plano de números complejos son el conjunto de números reales, el conjunto de números reales positivos, y el conjunto de números de valor absoluto uno. Procederemos ahora sistemáticamente a usar nuestra analogía heurística de transformaciones con números complejos, e intentaremos descubrir los análogos entre transformaciones de estos conceptos numéricos bien conocidos.

¿Cuándo es real un número complejo? Claramente una condición necesaria y suficiente para la realidad de $\zeta$ es la validez de la ecuación $\zeta =\overline{\zeta }$ . Podríamos en consecuencia (recordando que el análogo del conjugado complejo para transformaciones lineales es el adjunto) definir una transformación lineal $A$ como real si $A=A^{\ast }$ . Más comúnmente, transformaciones lineales $A$ para las cuales $A=A^{\ast }$ se llaman autoadjuntas ; en espacios con producto interior reales la palabra usual es simétricas , y, en espacios con producto interior complejos, hermitianas . Veremos que las transformaciones autoadjuntas juegan de hecho el mismo papel que los números reales.

Es bastante fácil caracterizar la matriz de una transformación autoadjunta respecto a una base ortonormal $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ . Si la matriz de $A$ es $({\alpha }_{ij})$ , entonces sabemos que la matriz de $A^{\ast }$ respecto a la base dual de $𝒳$ es $({\alpha }_{ij}^{\ast })$ , donde ${\alpha }_{ij}^{\ast }=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ; dado que una base ortonormal es auto-dual y dado que $A=A^{\ast }$ , tenemos $${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}.$$ Dejamos al lector verificar el recíproco: si definimos una transformación lineal $A$ por medio de una matriz $({\alpha }_{ij})$ y un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ , por las ecuaciones usuales

y si la matriz $({\alpha }_{ij})$ es tal que ${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}$ , entonces $A$ es autoadjunta.

Las reglas algebraicas para la manipulación de transformaciones autoadjuntas son fáciles de recordar si pensamos en tales transformaciones como análogos de números reales. Así, si $A$ y $B$ son autoadjuntas, también lo es $A+B$ ; si $A$ es autoadjunta y diferente de $0$ , y si $\alpha$ es un escalar no nulo, entonces una condición necesaria y suficiente de que $\alpha A$ sea autoadjunta es que $\alpha$ sea real; y si $A$ es invertible, entonces ambas o ninguna de $A$ y $A^{-1}$ son autoadjuntas. El lugar donde algo siempre falla es en la multiplicación; el producto de dos transformaciones autoadjuntas no necesita ser autoadjunto. Los hechos positivos acerca de productos están dados por los dos teoremas siguientes.

Un número complejo $\zeta$ es puramente imaginario si y solo si $\overline{\zeta }=-\zeta$ . El concepto correspondiente para transformaciones lineales es identificado por la palabra sesgado ; si una transformación lineal $A$ en un espacio con producto interior es tal que $A^{\ast }=-A$ , entonces $A$ se llama sesgada simétrica o sesgada hermitiana según sea el espacio real o complejo. He aquí alguna evidencia de la naturaleza exhaustiva de nuestra analogía entre números complejos y transformaciones lineales: una transformación lineal arbitraria $A$ puede ser expresada, en una y solo una forma, en la forma $A=B+C$ , donde $B$ es autoadjunta y $C$ es sesgada. (La representación de $A$ en esta forma a veces se llama la descomposición cartesiana de $A$ .) En efecto, si escribimos entonces tenemos $B^{\ast }=\frac{A^{\ast }+A}{2}=B$ y $C^{\ast }=\frac{A^{\ast }-A}{2}=-C$ , y, por supuesto, $A=B+C$ . De esta prueba de la existencia de la descomposición cartesiana, su unicidad también es clara; si tenemos $A=B+C$ , entonces $A^{\ast }=B-C$ , y, consecuentemente, $A$ , $B$ , y $C$ están nuevamente conectadas por (1) y (2).

En el caso complejo hay una forma simple de obtener transformaciones sesgadas hermitianas de hermitiana, y viceversa: simplemente multiplicar por $i$ ( $=\sqrt{-1}$ ). Se sigue que, en el caso complejo, toda transformación lineal $A$ tiene una representación única en la forma $A=B+iC$ , donde $B$ y $C$ son hermitianas. Nos referiremos a $B$ y $C$ como las partes real e imaginaria de $A$ .

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