Adjuntos

Estudiemos a continuación la relación entre las nociones de transformación lineal y espacio dual. Sea $𝒱$ cualquier espacio vectorial y sea $y$ cualquier elemento de ; para cualquier transformación lineal $A$ sobre $𝒱$ consideremos la expresión $[A x, y]$ . Para cada $y$ fijo, la función definida por es un funcional lineal sobre $𝒱$ ; usando la notación de corchete para así como para $y$ , tenemos . Si ahora permitimos que $y$ varíe sobre , entonces este procedimiento hace corresponder a cada $y$ una , dependiendo, por supuesto, de $y$ ; escribimos . La propiedad definitoria de es Afirmamos que es una transformación lineal sobre . Efectivamente, si $y = α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2}$ , entonces La transformación lineal se llama el adjunto (o dual) de $A$ ; dedicamos esta sección y la siguiente al estudio de propiedades de . Obtengamos primero las reglas algebraicas formales; son las siguientes.

Aquí (7) se interpreta en el siguiente sentido: si $A$ es invertible, entonces también lo es , y la ecuación es válida. Las demostraciones de todas estas relaciones son elementales; para indicar el procedimiento, realizamos los cálculos para (6) y (7). Para demostrar (6), simplemente observe que Para demostrar (7), supongamos que $A$ es invertible, de modo que $A A^{- 1} = A^{- 1} A = 1$ . Aplicando (3) y (6) a estas ecuaciones, obtenemos el Teorema 1 de Sección: Inversos implica que es invertible y que (7) es válida.

En espacios de dimensión finita otra relación importante se cumple: Esta relación debe leerse con cautela. Como está es una transformación no sobre $𝒱$ sino sobre el espacio dual de . Sin embargo, si identificamos y $𝒱$ de acuerdo con el isomorfismo natural, entonces actúa sobre $𝒱$ y (8) tiene sentido. En esta interpretación la demostración de (8) es trivial. Puesto que $𝒱$ es reflexivo, obtenemos todo funcional lineal sobre considerando $[x, y]$ como función de $y$ , con $x$ fijo en $𝒱$ . Puesto que define una función (un funcional lineal) de $y$ , puede escribirse en la forma . El vector aquí es, por definición, . Por lo tanto tenemos, para todo $y$ en y para todo $x$ en $𝒱$ , la igualdad del primer y último términos de esta cadena demuestra (8).

Bajo la hipótesis de (8) (es decir, dimensión finita), la asimetría en la interpretación de (7) puede eliminarse; afirmamos que en este caso la invertibilidad de implica la de $A$ y, por lo tanto, la validez de (7). Demostración: aplique la antigua interpretación de (7) a y en lugar de $A$ y .

Nuestra discusión se resume, en el caso reflexivo de dimensión finita, por la afirmación de que el mapeo es uno a uno, y, de hecho, un anti-isomorfismo algebraico, del conjunto de todas las transformaciones lineales sobre $𝒱$ al conjunto de todas las transformaciones lineales sobre . (El prefijo "anti" se agregó debido a la regla de conmutación (6).)