Adjuntos

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Estudiemos a continuación la relación entre las nociones de transformación lineal y espacio dual. Sea \(\mathcal{V}\) cualquier espacio vectorial y sea \(y\) cualquier elemento de \(\mathcal{V}^{\prime}\) ; para cualquier transformación lineal \(A\) sobre \(\mathcal{V}\) consideremos la expresión \([A x, y]\) . Para cada \(y\) fijo, la función \(y^{\prime}\) definida por \(y^{\prime}(x)=[A x, y]\) es un funcional lineal sobre \(\mathcal{V}\) ; usando la notación de corchete para \(y^{\prime}\) así como para \(y\) , tenemos \([A x, y]=[x, y^{\prime}]\) . Si ahora permitimos que \(y\) varíe sobre \(\mathcal{V}^{\prime}\) , entonces este procedimiento hace corresponder a cada \(y\) una \(y^{\prime}\) , dependiendo, por supuesto, de \(y\) ; escribimos \(y^{\prime}=A^{\prime} y\) . La propiedad definitoria de \(A^{\prime}\) es \[=[x, A^{\prime} y]. \tag{1}\] Afirmamos que \(A^{\prime}\) es una transformación lineal sobre \(\mathcal{V}^{\prime}\) . Efectivamente, si \(y=\alpha_{1} y_{1}+\alpha_{2} y_{2}\) , entonces \begin{align} [x, A^{\prime} y] &= [A x, y]\\ &= \alpha_{1}[A x, y_{1}]+\alpha_{2}[A x, y_{2}] \\ &= \alpha_{1}[x, A^{\prime} y_{1}]+\alpha_{2}[x, A^{\prime} y_{2}]\\ &=[x, \alpha_{1} A^{\prime} y_{1}+\alpha_{2} A^{\prime} y_{2}]. \end{align} La transformación lineal \(A^{\prime}\) se llama el adjunto (o dual) de \(A\) ; dedicamos esta sección y la siguiente al estudio de propiedades de \(A^{\prime}\) . Obtengamos primero las reglas algebraicas formales; son las siguientes. \begin{align} 0^{\prime} & =0, \tag{2}\\ 1^{\prime} & =1, \tag{3}\\ (A+B)^{\prime} & =A^{\prime}+B^{\prime}, \tag{4}\\ (\alpha A)^{\prime} & =\alpha A^{\prime}, \tag{5}\\ (A B)^{\prime} & =B^{\prime} A^{\prime}, \tag{6}\\ (A^{-1})^{\prime} & =(A^{\prime})^{-1}. \tag{7} \end{align} 

Aquí (7) se interpreta en el siguiente sentido: si \(A\) es invertible, entonces también lo es \(A^{\prime}\) , y la ecuación es válida. Las demostraciones de todas estas relaciones son elementales; para indicar el procedimiento, realizamos los cálculos para (6) y (7). Para demostrar (6), simplemente observe que \[[A B x, y]=[B x, A^{\prime} y]=[x, B^{\prime} A^{\prime} y].\] Para demostrar (7), supongamos que \(A\) es invertible, de modo que \(A A^{-1}=A^{-1} A=1\) . Aplicando (3) y (6) a estas ecuaciones, obtenemos \[(A^{-1})^{\prime} A^{\prime}=A^{\prime}(A^{-1})^{\prime}=1;\] el Teorema 1 de Sección: Inversos implica que \(A^{\prime}\) es invertible y que (7) es válida.

En espacios de dimensión finita otra relación importante se cumple: \[A^{\prime \prime}=A. \tag{8}\] Esta relación debe leerse con cautela. Como está \(A^{\prime \prime}\) es una transformación no sobre \(\mathcal{V}\) sino sobre el espacio dual \(\mathcal{V}^{\prime \prime}\) de \(\mathcal{V}^{\prime}\) . Sin embargo, si identificamos \(\mathcal{V}^{\prime \prime}\) y \(\mathcal{V}\) de acuerdo con el isomorfismo natural, entonces \(A^{\prime \prime}\) actúa sobre \(\mathcal{V}\) y (8) tiene sentido. En esta interpretación la demostración de (8) es trivial. Puesto que \(\mathcal{V}\) es reflexivo, obtenemos todo funcional lineal sobre \(\mathcal{V}^{\prime}\) considerando \([x, y]\) como función de \(y\) , con \(x\) fijo en \(\mathcal{V}\) . Puesto que \([x, A^{\prime} y]\) define una función (un funcional lineal) de \(y\) , puede escribirse en la forma \([x^{\prime}, y]\) . El vector \(x^{\prime}\) aquí es, por definición, \(A^{\prime \prime} x\) . Por lo tanto tenemos, para todo \(y\) en \(\mathcal{V}^{\prime}\) y para todo \(x\) en \(\mathcal{V}\) , \[[A x, y]=[x, A^{\prime} y]=[A^{\prime \prime} x, y];\] la igualdad del primer y último términos de esta cadena demuestra (8).

Bajo la hipótesis de (8) (es decir, dimensión finita), la asimetría en la interpretación de (7) puede eliminarse; afirmamos que en este caso la invertibilidad de \(A^{\prime}\) implica la de \(A\) y, por lo tanto, la validez de (7). Demostración: aplique la antigua interpretación de (7) a \(A^{\prime}\) y \(A^{\prime \prime}\) en lugar de \(A\) y \(A^{\prime}\) .

Nuestra discusión se resume, en el caso reflexivo de dimensión finita, por la afirmación de que el mapeo \(A \to A^{\prime}\) es uno a uno, y, de hecho, un anti-isomorfismo algebraico, del conjunto de todas las transformaciones lineales sobre \(\mathcal{V}\) al conjunto de todas las transformaciones lineales sobre \(\mathcal{V}^\prime\) . (El prefijo "anti" se agregó debido a la regla de conmutación (6).)