Proyecciones

Especialmente importante para nuestros propósitos es otra conexión entre sumas directas y transformaciones lineales.

Definición 1. Si \(\mathcal{V}\) es la suma directa de \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) , de modo que todo \(z\) en \(\mathcal{V}\) puede escribirse, únicamente, en la forma \(z=x+y\) con \(x\) en \(\mathcal{M}\) y \(y\) en \(\mathcal{N}\) , la proyección sobre \(\mathcal{M}\) a lo largo de \(\mathcal{N}\) es la transformación \(E\) definida por \(Ez = x\) .

Si las sumas directas son importantes, entonces también lo son las proyecciones, ya que, como veremos, son una herramienta algebraica muy poderosa para estudiar el concepto geométrico de suma directa. El lector se convencerá fácilmente del motivo del término "proyección" dibujando un par de ejes (variedad lineal) en el plano (su suma directa). ¡Para que la imagen se vea lo suficientemente general, no dibuje ejes perpendiculares!

Nos saltamos un punto cuya demostración es lo suficientemente fácil para saltarla, pero cuya existencia debe ser reconocida; debe demostrarse que \(E\) es una transformación lineal . Dejamos esta verificación al lector y continuamos para buscar propiedades especiales de las proyecciones.

Teorema 1. Una transformación lineal \(E\) es una proyección sobre algún subespacio si y solo si es idempotente, es decir, \(E^{2}=E\) .

Demostración. Si \(E\) es la proyección sobre \(\mathcal{M}\) a lo largo de \(\mathcal{N}\) , y si \(z=x+y\) , con \(x\) en \(\mathcal{M}\) y \(y\) en \(\mathcal{N}\) , entonces la descomposición de \(x\) es \(x+0\) , de modo que \[E^{2} z=E E z=E x=x=E z.\] Recíprocamente, supongamos que \(E^{2}=E\) . Sea \(\mathcal{N}\) el conjunto de todos los vectores \(z\) en \(\mathcal{V}\) para los cuales \(E z=0\) ; sea \(\mathcal{M}\) el conjunto de todos los vectores \(z\) para los cuales \(E z=z\) . Es claro que tanto \(\mathcal{M}\) como \(\mathcal{N}\) son subespacios; demostraremos que \(\mathcal{V} = \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) . Según el teorema de Sección: Sumas directas , necesitamos demostrar que \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) son disjuntos y que juntos generan \(\mathcal{V}\) .

Si \(z\) está en \(\mathcal{M}\) , entonces \(E z=z\) ; si \(z\) está en \(\mathcal{N}\) , entonces \(E z=0\) ; por lo tanto si \(z\) está en ambos \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) , entonces \(z=0\) . Para un \(z\) arbitrario tenemos \[z=E z+(1-E) z.\] Si escribimos \(E z=x\) y \((1-E) z=y\) , entonces \[E x=E^{2} z=E z=x,\] y \[E y=E(1-E) z=E z-E^{2} z=0,\] de modo que \(x\) está en \(\mathcal{M}\) y \(y\) está en \(\mathcal{N}\) . Esto demuestra que \(\mathcal{V} = \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) , y que la proyección sobre \(\mathcal{M}\) a lo largo de \(\mathcal{N}\) es precisamente \(E\) . ◻

Como consecuencia inmediata de la demostración anterior obtenemos también el siguiente resultado.

Teorema 2. Si \(E\) es la proyección sobre \(\mathcal{M}\) a lo largo de \(\mathcal{N}\) , entonces \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) son, respectivamente, los conjuntos de todas las soluciones de las ecuaciones \(E z=z\) y \(E z=0\) .

Por medio de estos dos teoremas podemos eliminar la asimetría aparente, en la definición de proyecciones, entre los papeles jugados por \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) . Si a cada \(z=x+y\) hacemos corresponder no \(x\) sino \(y\) , obtenemos también una transformación lineal idempotente. Esta transformación (a saber, \(1-E\) ) es la proyección sobre \(\mathcal{N}\) a lo largo de \(\mathcal{M}\) . Resumimos los hechos de la siguiente manera.

Teorema 3. Una transformación lineal \(E\) es una proyección si y solo si \(1-E\) es una proyección; si \(E\) es la proyección sobre \(\mathcal{M}\) a lo largo de \(\mathcal{N}\) , entonces \(1-E\) es la proyección sobre \(\mathcal{N}\) a lo largo de \(\mathcal{M}\) .