Reducibilidad
Reducibilidad
Un caso especialmente importante de la noción de invariancia es el de la reducibilidad. Si \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) son dos subespacios tales que ambos son invariantes bajo \(A\) y tales que \(\mathcal{V}\) es su suma directa, entonces \(A\) es reducida (descompuesta) por el par \((\mathcal{M}, \mathcal{N})\) . La diferencia entre invariancia y reducibilidad es que, en el primer caso, entre la colección de todos los subespacios invariantes bajo \(A\) es posible que no podamos elegir dos cualesquiera, aparte de \(\mathcal{O}\) y \(\mathcal{V}\) , con la propiedad de que \(\mathcal{V}\) sea su suma directa. O, dicho de otra manera, si \(\mathcal{M}\) es invariante bajo \(A\) , hay, sin duda, muchas maneras de encontrar un \(\mathcal{N}\) tal que \(\mathcal{V}=\mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) , pero puede suceder que ningún tal \(\mathcal{N}\) sea invariante bajo \(A\) .
El proceso descrito arriba también puede ser invertido. Sea \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) cualesquiera dos espacios vectoriales, y sea \(A\) y \(B\) cualesquiera dos transformaciones lineales (sobre \(\mathcal{M}\) y \(\mathcal{N}\) respectivamente). Sea \(\mathcal{V}\) la suma directa \(\mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) ; podemos definir sobre \(\mathcal{V}\) una transformación lineal \(C\) llamada la suma directa de \(A\) y \(B\) , escribiendo \[C z=C(x, y)=(A x, B y).\] Omitiremos la discusión detallada de sumas directas de transformaciones; simplemente mencionaremos los resultados. Sus demostraciones son fáciles. Si \((\mathcal{M}, \mathcal{N})\) reduce \(C\) , y si denotamos por \(A\) la transformación lineal \(C\) considerada solo sobre \(\mathcal{M}\) , y por \(B\) la transformación lineal \(C\) considerada solo sobre \(\mathcal{N}\) , entonces \(C\) es la suma directa de \(A\) y \(B\) . Por selección apropiada de base (a saber, eligiendo \(x_{1}, \ldots, x_{m}\) en \(\mathcal{M}\) y \(x_{m+1}, \ldots, x_{n}\) en \(\mathcal{N}\) ) podemos poner la matriz de la suma directa de \(A\) y \(B\) en la forma mostrada en la sección anterior, con \([A_{1}]=[A]\) , \([B_{0}]=[0]\) , y \([A_{2}]=[B]\) . Si \(p\) es cualquier polinomio, y si escribimos \(A^{\prime}=p(A)\) , \(B^{\prime}=p(B)\) , entonces la suma directa \(C^{\prime}\) de \(A^{\prime}\) y \(B^{\prime}\) será \(p(C)\) .
EJERCICIOS
Ejercicio 1. Dé un ejemplo de una transformación lineal \(A\) sobre un espacio vectorial de dimensión finita \(\mathcal{V}\) tal que \(\mathcal{O}\) y \(\mathcal{V}\) sean los únicos subespacios invariantes bajo \(A\) .
Ejercicio 2. Sea \(D\) el operador de derivación sobre \(\mathcal{P}_n\) . Si \(m \leq n\) , entonces el subespacio \(\mathcal{P}_m\) es invariante bajo \(D\) . ¿Es \(D\) sobre \(\mathcal{P}_{m}\) invertible? ¿Existe un complemento de \(\mathcal{P}_m\) en \(\mathcal{P}_n\) tal que junto con \(\mathcal{P}_{m}\) reduzca \(D\) ?
Ejercicio 3. Demuestre que el subespacio generado por dos subespacios, cada uno de los cuales es invariante bajo una transformación lineal \(A\) , es en sí mismo invariante bajo \(A\) .