Reducibilidad

Un caso especialmente importante de la noción de invariancia es el de la reducibilidad. Si $ℳ$ y $𝒩$ son dos subespacios tales que ambos son invariantes bajo $A$ y tales que $𝒱$ es su suma directa, entonces $A$ es reducida (descompuesta) por el par $(ℳ, 𝒩)$ . La diferencia entre invariancia y reducibilidad es que, en el primer caso, entre la colección de todos los subespacios invariantes bajo $A$ es posible que no podamos elegir dos cualesquiera, aparte de $𝒪$ y $𝒱$ , con la propiedad de que $𝒱$ sea su suma directa. O, dicho de otra manera, si $ℳ$ es invariante bajo $A$ , hay, sin duda, muchas maneras de encontrar un $𝒩$ tal que $𝒱 = ℳ \oplus 𝒩$ , pero puede suceder que ningún tal $𝒩$ sea invariante bajo $A$ .

El proceso descrito arriba también puede ser invertido. Sea $ℳ$ y $𝒩$ cualesquiera dos espacios vectoriales, y sea $A$ y $B$ cualesquiera dos transformaciones lineales (sobre $ℳ$ y $𝒩$ respectivamente). Sea $𝒱$ la suma directa $ℳ \oplus 𝒩$ ; podemos definir sobre $𝒱$ una transformación lineal $C$ llamada la suma directa de $A$ y $B$ , escribiendo $C z = C (x, y) = (A x, B y) .$ Omitiremos la discusión detallada de sumas directas de transformaciones; simplemente mencionaremos los resultados. Sus demostraciones son fáciles. Si $(ℳ, 𝒩)$ reduce $C$ , y si denotamos por $A$ la transformación lineal $C$ considerada solo sobre $ℳ$ , y por $B$ la transformación lineal $C$ considerada solo sobre $𝒩$ , entonces $C$ es la suma directa de $A$ y $B$ . Por selección apropiada de base (a saber, eligiendo $x_{1}, \dots, x_{m}$ en $ℳ$ y $x_{m + 1}, \dots, x_{n}$ en $𝒩$ ) podemos poner la matriz de la suma directa de $A$ y $B$ en la forma mostrada en la sección anterior, con $[A_{1}] = [A]$ , $[B_{0}] = [0]$ , y $[A_{2}] = [B]$ . Si $p$ es cualquier polinomio, y si escribimos , , entonces la suma directa de y será $p (C)$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Dé un ejemplo de una transformación lineal $A$ sobre un espacio vectorial de dimensión finita $𝒱$ tal que $𝒪$ y $𝒱$ sean los únicos subespacios invariantes bajo $A$ .

Ejercicio 2. Sea $D$ el operador de derivación sobre $𝒫_{n}$ . Si $m \leq n$ , entonces el subespacio $𝒫_{m}$ es invariante bajo $D$ . ¿Es $D$ sobre $𝒫_{m}$ invertible? ¿Existe un complemento de $𝒫_{m}$ en $𝒫_{n}$ tal que junto con $𝒫_{m}$ reduzca $D$ ?

Ejercicio 3. Demuestre que el subespacio generado por dos subespacios, cada uno de los cuales es invariante bajo una transformación lineal $A$ , es en sí mismo invariante bajo $A$ .