Invariancia

Una posible relación entre subespacios \(\mathcal{M}\) de un espacio vectorial y transformaciones lineales \(A\) sobre ese espacio es la invariancia. Decimos que \(\mathcal{M}\) es invariante bajo \(A\) , si \(x\) en \(\mathcal{M}\) implica que \(A x\) está en \(\mathcal{M}\) . (Observe que la relación de implicación se requiere en una sola dirección; no suponemos que todo \(y\) en \(\mathcal{M}\) pueda escribirse en la forma \(y=A x\) con \(x\) en \(\mathcal{M}\) ; ni siquiera suponemos que \(A x\) en \(\mathcal{M}\) implique \(x\) en \(\mathcal{M}\) . Pronto veremos ejemplos en los que las condiciones que no supusimos definitivamente no se cumplen.) Sabemos que un subespacio de un espacio vectorial es en sí mismo un espacio vectorial; si sabemos que \(\mathcal{M}\) es invariante bajo \(A\) , podemos ignorar el hecho de que \(A\) está definida fuera de \(\mathcal{M}\) y podemos considerar \(A\) como una transformación lineal definida sobre el espacio vectorial \(\mathcal{M}\) . La invariancia frecuentemente se considera para conjuntos de transformaciones lineales, así como para una sola; \(\mathcal{M}\) es invariante bajo un conjunto si es invariante bajo cada miembro del conjunto.

¿Qué se puede decir acerca de la matriz de una transformación lineal \(A\) sobre un espacio vectorial \(\mathcal{V}\) de dimensión \(n\) si sabemos que algún \(\mathcal{M}\) es invariante bajo \(A\) ? En otras palabras: ¿hay una manera ingeniosa de seleccionar una base \(\mathcal{X}=\{x_{1}, \ldots, x_{n}\}\) en \(\mathcal{V}\) de modo que \([A]=[A; \mathcal{X}]\) tenga una forma particularmente simple? La respuesta está en Sección: Dimensión de un subespacio , Teorema 2; podemos elegir \(\mathcal{X}\) de manera que \(x_{1}, \ldots, x_{m}\) estén en \(\mathcal{M}\) y \(x_{m+1}, \ldots, x_{n}\) no estén. Expresemos \(A x_{j}\) en términos de \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) . Para \(m+1 \leq j \leq n\) , no hay mucho que podamos decir: \(A x_{j}=\sum_{i} \alpha_{i j} x_{i}\) . Para \(1 \leq j \leq m\) , sin embargo, \(x_{j}\) está en \(\mathcal{M}\) , y por lo tanto (puesto que \(\mathcal{M}\) es invariante bajo \(A\) ) \(A x_{j}\) está en \(\mathcal{M}\) . Consecuentemente, en este caso \(A x_{j}\) es una combinación lineal de \(x_{1}, \ldots, x_{m}\) ; los \(\alpha_{i j}\) con \(m+1 \leq i \leq n\) son cero. Por lo tanto, la matriz \([A]\) de \(A\) , en este sistema de coordenadas, tendrá la forma \[[A]=\begin{bmatrix} {[A_{1}]} & {[B_{0}]} \\ {[0]} & {[A_{2}]} \end{bmatrix},\] donde \([A_{1}]\) es la matriz (de \(m\) filas) de \(A\) considerada como una transformación lineal sobre el espacio \(\mathcal{M}\) (respecto al sistema de coordenadas \(\{x_{1}, \ldots, x_{m}\}\) ), \([A_{2}]\) y \([B_{0}]\) son algunos arreglos de escalares (de tamaño \((n-m)\) por \((n-m)\) y \(m\) por \((n-m)\) respectivamente), y \([0]\) denota el arreglo rectangular (\((n-m)\) por \(m\) ) que consiste solo en ceros. (Es importante observar el hecho desagradable de que \([B_{0}]\) no necesita ser cero.)