Invariancia

Una posible relación entre subespacios $ℳ$ de un espacio vectorial y transformaciones lineales $A$ sobre ese espacio es la invariancia. Decimos que $ℳ$ es invariante bajo $A$ , si $x$ en $ℳ$ implica que $A x$ está en $ℳ$ . (Observe que la relación de implicación se requiere en una sola dirección; no suponemos que todo $y$ en $ℳ$ pueda escribirse en la forma $y = A x$ con $x$ en $ℳ$ ; ni siquiera suponemos que $A x$ en $ℳ$ implique $x$ en $ℳ$ . Pronto veremos ejemplos en los que las condiciones que no supusimos definitivamente no se cumplen.) Sabemos que un subespacio de un espacio vectorial es en sí mismo un espacio vectorial; si sabemos que $ℳ$ es invariante bajo $A$ , podemos ignorar el hecho de que $A$ está definida fuera de $ℳ$ y podemos considerar $A$ como una transformación lineal definida sobre el espacio vectorial $ℳ$ . La invariancia frecuentemente se considera para conjuntos de transformaciones lineales, así como para una sola; $ℳ$ es invariante bajo un conjunto si es invariante bajo cada miembro del conjunto.

¿Qué se puede decir acerca de la matriz de una transformación lineal $A$ sobre un espacio vectorial $𝒱$ de dimensión $n$ si sabemos que algún $ℳ$ es invariante bajo $A$ ? En otras palabras: ¿hay una manera ingeniosa de seleccionar una base $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ en $𝒱$ de modo que $[A] = [A; 𝒳]$ tenga una forma particularmente simple? La respuesta está en Sección: Dimensión de un subespacio , Teorema 2; podemos elegir $𝒳$ de manera que $x_{1}, \dots, x_{m}$ estén en $ℳ$ y $x_{m + 1}, \dots, x_{n}$ no estén. Expresemos $A x_{j}$ en términos de $x_{1}, \dots, x_{n}$ . Para $m + 1 \leq j \leq n$ , no hay mucho que podamos decir: $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ . Para $1 \leq j \leq m$ , sin embargo, $x_{j}$ está en $ℳ$ , y por lo tanto (puesto que $ℳ$ es invariante bajo $A$ ) $A x_{j}$ está en $ℳ$ . Consecuentemente, en este caso $A x_{j}$ es una combinación lineal de $x_{1}, \dots, x_{m}$ ; los $α_{i j}$ con $m + 1 \leq i \leq n$ son cero. Por lo tanto, la matriz $[A]$ de $A$ , en este sistema de coordenadas, tendrá la forma $[A] = [\begin{matrix} [A_{1}] & [B_{0}] \\ [0] & [A_{2}] \end{matrix}],$ donde $[A_{1}]$ es la matriz (de $m$ filas) de $A$ considerada como una transformación lineal sobre el espacio $ℳ$ (respecto al sistema de coordenadas ${x_{1}, \dots, x_{m}}$ ), $[A_{2}]$ y $[B_{0}]$ son algunos arreglos de escalares (de tamaño $(n - m)$ por $(n - m)$ y $m$ por $(n - m)$ respectivamente), y $[0]$ denota el arreglo rectangular ( $(n - m)$ por $m$ ) que consiste solo en ceros. (Es importante observar el hecho desagradable de que $[B_{0}]$ no necesita ser cero.)