Matrices de transformaciones

Hay ahora una cierta cantidad de trabajo rutinario a hacer, la mayor parte del cual dejaremos a la imaginación. El problema es este: en un sistema de coordenadas fijo $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ , conociendo las matrices de $A$ y $B$ , ¿cómo podemos encontrar las matrices de $α A + β B$ , de $A B$ , de $0$ , $1$ , etc.?

Escriba $[A] = (α_{i j})$ , $[B] = (β_{i j})$ , $C = α A + β B$ , $[C] = (γ_{i j})$ ; afirmamos que $γ_{i j} = α α_{i j} + β β_{i j};$ también si $[0] = (o_{i j})$ y $[1] = (e_{i j})$ , entonces $o_{i j} = 0$ y

$e_{i j} = δ_{i j} (= la delta de Kronecker).$

Una regla más complicada es la siguiente: si $C = A B$ , $[C] = (γ_{i j})$ , entonces $γ_{i j} = \sum_{k} α_{i k} β_{k j} .$ Para probar esto usamos la definición de la matriz asociada con una transformación, y manipulamos, así:

La relación entre transformaciones y matrices es exactamente la misma que la relación entre vectores y sus coordenadas, y el análogo del teorema de isomorfismo de Sección: Isomorfismo es verdadero en el mejor sentido posible. Haremos estas afirmaciones precisas.

Con la ayuda de una base fija $𝒳$ , hemos hecho corresponder una matriz $[A]$ a cada transformación lineal $A$ ; la correspondencia se describe por las relaciones $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ . Afirmamos ahora que esta correspondencia es uno a uno (es decir, que las matrices de dos transformaciones diferentes son diferentes), y que todo arreglo $(α_{i j})$ de $n^{2}$ escalares es la matriz de alguna transformación. Para probar esto, observamos en primer lugar que el conocimiento de la matriz de $A$ determina completamente $A$ (es decir, que $A x$ es así unívocamente definido para todo $x$ , como sigue: si $x = \sum_{j} ξ_{j} x_{j}$ , entonces (En otras palabras, si $y = A x = \sum_{i} η_{i} x_{i}$ , entonces $η_{i} = \sum_{j} α_{i j} ξ_{j} .$ Compare esto con los comentarios en Sección: Matrices sobre la perversidad de índices.) En segundo lugar, no hay ley que prohíba leer la relación $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ al revés. Si, en otras palabras, $(α_{i j})$ es cualquier arreglo, podemos usar esta relación para definir una transformación lineal $A$ ; es claro que la matriz de $A$ será exactamente $(α_{i j})$ . (Una vez más, sin embargo, enfatizamos el hecho fundamental de que esta correspondencia uno a uno entre transformaciones y matrices se estableció por medio de un sistema de coordenadas particular, y que, como pasamos de un sistema de coordenadas a otro, la misma transformación lineal puede corresponder a varias matrices, y una matriz puede ser la correspondiente de muchas transformaciones lineales.) La siguiente afirmación resume la parte esencial de la discusión anterior.

Teorema 1. Entre el conjunto de todas las matrices $(α_{i j})$ , $(β_{i j})$ , etc., $i, j = 1, \dots, n$ (no consideradas en relación con transformaciones lineales), definimos suma, multiplicación escalar, producto, $(o_{i j})$ , e $(e_{i j})$ , por Entonces la correspondencia (establecida por medio de un sistema de coordenadas arbitrario $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ del espacio vectorial de dimensión $n$ $𝒱$ ), entre todas las transformaciones lineales $A$ en $𝒱$ y todas las matrices $(α_{i j})$ , descrita por $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i}$ , es un isomorfismo; en otras palabras, es una correspondencia uno a uno que preserva suma, multiplicación escalar, producto, $0$ , e $1$ .

Hemos evitado cuidadosamente discutir la matriz de $A^{- 1}$ . Es posible dar una expresión para $[A^{- 1}]$ en términos de los elementos $α_{i j}$ de $[A]$ , pero la expresión no es simple y, afortunadamente, no es útil para nosotros.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Sea $A$ la transformación lineal en $𝒫_{n}$ definida por $(A x) (t) = x (t + 1)$ , y sea ${x_{0}, \dots, x_{n - 1}}$ la base de $𝒫_{n}$ definida por $x_{j} (t) = t^{j}$ , $j = 0, \dots, n - 1$ . Encuentre la matriz de $A$ con respecto a esta base.

Ejercicio 2. Encuentre la matriz de la operación de conjugación en $ℂ$ , considerada como un espacio vectorial real, con respecto a la base ${1, i}$ (donde $i = \sqrt{- 1}$ ).

Ejercicio 3.

Sea $π$ una permutación de los enteros $1, \dots, n$ ; si $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ es un vector en $ℂ^{n}$ , escriba $A x = (ξ_{π (1)}, \dots, ξ_{π (n)})$ . Si $x_{i} = (δ_{i 1}, \dots, δ_{i n})$ , encuentre la matriz de $A$ con respecto a ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ .
Encuentre todas las matrices que conmutan con la matriz de $A$ .

Ejercicio 4. Considere el espacio vectorial que consiste en todas las matrices reales de dos por dos y sea $A$ la transformación lineal en este espacio que envía cada matriz $X$ a $P X$ , donde $P = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .$ Encuentre la matriz de $A$ con respecto a la base que consiste en $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .$

Ejercicio 5. Considere el espacio vectorial que consiste en todas las transformaciones lineales en un espacio vectorial $𝒱$ , y sea $A$ la transformación de multiplicación (a la izquierda) que envía cada transformación $X$ en $𝒱$ a $P X$ , donde $P$ es alguna transformación prescrita en $𝒱$ . ¿Bajo qué condiciones en $P$ es $A$ invertible?

Ejercicio 6. Pruebe que si $I$ , $J$ , y $K$ son las matrices complejas $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}]$ respectivamente (donde $i = \sqrt{- 1}$ ), entonces

Ejercicio 7.

Pruebe que si $A$ , $B$ , y $C$ son transformaciones lineales en un espacio vectorial de dimensión dos, entonces $(A B - B A)^{2}$ conmuta con $C$ .
¿Es verdadera la conclusión de (a) para espacios de dimensión superior?

Ejercicio 8. Sea $A$ la transformación lineal en $ℂ^{2}$ definida por $A (ξ_{1}, ξ_{2}) = (ξ_{1} + ξ_{2}, ξ_{2})$ . Pruebe que si una transformación lineal $B$ conmuta con $A$ , entonces existe un polinomio $p$ tal que $B = p (A)$ .

Ejercicio 9. ¿Para cuál de los siguientes polinomios $p$ y matrices $A$ es verdadero que $p (A) = 0$ ?

$p (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1$ , $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .
$p (t) = t^{2} - 3 t$ , $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$p (t) = t^{3} + t^{2} + t + 1$ , $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$p (t) = t^{3} - 2 t$ , $A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ .

Ejercicio 10. Pruebe que si $A$ y $B$ son las matrices complejas $[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] y [\begin{matrix} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ respectivamente (donde $i = \sqrt{- 1}$ ), y si $C = A B - i B A$ , entonces $C^{2} + C^{2} + C = 0$ .

Ejercicio 11. Si $A$ y $B$ son transformaciones lineales en un espacio vectorial, y si $A B = 0$ , ¿se sigue que $B A = 0$ ?

Ejercicio 12. ¿Qué sucede con la matriz de una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita cuando los elementos de la base con respecto a la cual se calcula la matriz se permutan entre sí?

Ejercicio 13.

Supongamos que $𝒱$ es un espacio vectorial de dimensión finita con base ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ . Supongamos que $α_{1}, \dots, α_{n}$ son escalares distintos por parejas. Si $A$ es una transformación lineal tal que $A x_{j} = α_{j} x_{j}$ , $j = 1, \dots, n$ , y si $B$ es una transformación lineal que conmuta con $A$ , entonces existen escalares $β_{1}, \dots, β_{n}$ tales que $B x_{j} = β_{j} x_{j}$ .
Pruebe que si $B$ es una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita $𝒱$ y si $B$ conmuta con toda transformación lineal en $𝒱$ , entonces $B$ es un escalar (es decir, existe un escalar $β$ tal que $B x = β x$ para todo $x$ en $𝒱$ ).

Ejercicio 14. Si ${x_{1}, \dots, x_{k}}$ y ${y_{1}, \dots, y_{k}}$ son conjuntos linealmente independientes de vectores en un espacio vectorial de dimensión finita $𝒱$ , entonces existe una transformación lineal invertible $A$ en $𝒱$ tal que $A x_{j} = y_{j}$ , $j = 1, \dots, k$ .

Ejercicio 15. Si una matriz $[A] = (α_{i j})$ es tal que $α_{i i} = 0$ , $i = 1, \dots, n$ , entonces existen matrices $[B] = (β_{i j})$ y $[C] = (γ_{i j})$ tales que $[A] = [B] [C] - [C] [B]$ . (Pista: intente $β_{i j} = β_{i} δ_{i j}$ .)

Ejercicio 16. Decida cuáles de las siguientes matrices son invertibles y encuentre las inversas de las que lo son.

$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ .

Ejercicio 17. ¿Para cuáles valores de $α$ son invertibles las siguientes matrices? Encuentre las inversas cuando sea posible.

$[\begin{matrix} α & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & α \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & α \\ 1 & α \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & α \end{matrix}]$ .

Ejercicio 18. ¿Para cuáles valores de $α$ son invertibles las siguientes matrices? Encuentre las inversas cuando sea posible.

$[\begin{matrix} 1 & α & 0 \\ α & 1 & α \\ 0 & α & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} α & 1 & 0 \\ 1 & α & 1 \\ 0 & 1 & α \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 0 & 1 & α \\ 1 & α & 0 \\ α & 0 & 1 \end{matrix}]$ .
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & α \\ 1 & α & 1 \end{matrix}]$ .

Ejercicio 19.

Es fácil extender la teoría de matrices a transformaciones lineales entre espacios vectoriales diferentes. Supongamos que $𝒰$ y $𝒱$ son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, sea ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ y ${y_{1}, \dots, y_{m}}$ bases de $𝒰$ y $𝒱$ respectivamente, y sea $A$ una transformación lineal de $𝒰$ a $𝒱$ . La matriz de $A$ es, por definición, el arreglo rectangular, $m$ por $n$ , de escalares definido por $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} y_{i} .$ Defina adición y multiplicación de matrices rectangulares de modo que se generalicen tantos resultados como sea posible de Sección: Matrices de transformaciones . (Nótese que el producto de una matriz $m_{1}$ por $n_{1}$ y una matriz $m_{2}$ por $n_{2}$ , en ese orden, será definido solo si $n_{1} = m_{2}$ .)
Supongamos que $A$ y $B$ son matrices multiplicables. Particione $A$ en cuatro bloques rectangulares (arriba a la izquierda, arriba a la derecha, abajo a la izquierda, abajo a la derecha) y luego particione $B$ similarmente de modo que el número de columnas en la parte superior izquierda de $A$ sea igual al número de filas en la parte superior izquierda de $B$ . Si, en una notación taquigráfica obvia, estas particiones se indican por $A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix}],$ entonces $A B = [\begin{matrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} \end{matrix}]$
Use subespacios y complementos para expresar el resultado de (b) en términos de transformaciones lineales (en lugar de matrices).
Generalice ambas (b) y (c) a números mayores de piezas (en lugar de cuatro).