Inversas

En cada una de las dos secciones anteriores dimos un ejemplo; estos dos ejemplos sacan a la luz las dos propiedades desagradables que tiene la multiplicación de transformaciones lineales, es decir, la no conmutatividad y la existencia de divisores de cero. Nos dirigimos ahora a las propiedades más agradables que las transformaciones lineales a veces tienen.

Puede ocurrir que la transformación lineal $A$ tenga una o ambas de las dos propiedades muy especiales siguientes.

Si $x_{1} \neq x_{2}$ , entonces $A x_{1} \neq A x_{2}$ .
A cada vector $y$ le corresponde (al menos) un vector $x$ tal que $A x = y$ .

Si alguna vez $A$ tiene ambas propiedades diremos que $A$ es invertible . Si $A$ es invertible, definimos una transformación lineal, llamada la inversa de $A$ y denotada por $A^{- 1}$ , como sigue. Si $y_{0}$ es cualquier vector, podemos (por (ii)) encontrar un $x_{0}$ para el cual $A x_{0} = y_{0}$ . Este $x_{0}$ es, además, unívocamente determinado, ya que $x_{0} \neq x_{1}$ implica (por (i)) que $y_{0} = A x_{0} \neq A x_{1}$ . Definimos $A^{- 1} y_{0}$ como $x_{0}$ . Para probar que $A^{- 1}$ es lineal, evaluamos $A^{- 1} (α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2})$ . Si $A x_{1} = y_{1}$ y $A x_{2} = y_{2}$ , entonces la linealidad de $A$ nos dice que $A (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2}) = α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2},$ de modo que $A^{- 1} (α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2}) = α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2} = α_{1} A^{- 1} y_{1} + α_{2} A^{- 1} y_{2} .$

Como ejemplo trivial de una transformación invertible mencionamos la transformación identidad $1$ ; claramente $1^{- 1} = 1$ . La transformación $0$ no es invertible; viola ambas condiciones (i) e (ii) tan fuertemente como pueden ser violadas.

Es inmediato de la definición que para cualquier $A$ invertible tenemos $A A^{- 1} = A^{- 1} A = 1$ mostraremos ahora que estas ecuaciones sirven para caracterizar $A^{- 1}$ .

Teorema 1. Si $A$ , $B$ , y $C$ son transformaciones lineales tales que $A B = C A = 1$ entonces $A$ es invertible y $A^{- 1} = B = C$ .

Demostración. Si $A x_{1} = A x_{2}$ , entonces $C A x_{1} = C A x_{2}$ , de modo que (ya que $C A = 1$ ) $x_{1} = x_{2}$ ; en otras palabras, se satisface la primera condición de la definición de invertibilidad. La segunda condición también se satisface, pues si $y$ es cualquier vector y $x = B y$ , entonces $y = A B y = A x$ . Multiplicando $A B = 1$ a la izquierda, y $C A = 1$ a la derecha, por $A^{- 1}$ , vemos que $A^{- 1} = B = C$ . ◻

Para mostrar que ni $A B = 1$ ni $C A = 1$ es, por sí solo, suficiente para asegurar la invertibilidad de $A$ , llamamos la atención sobre las transformaciones de diferenciación e integración $D$ y $S$ , definidas en Sección: Transformaciones lineales , (4) y (5). Aunque $D S = 1$ , ni $D$ ni $S$ es invertible; $D$ viola (i), y $S$ viola (ii).

En espacios de dimensión finita la situación es mucho más simple.

Teorema 2. Una transformación lineal $A$ en un espacio vectorial de dimensión finita $𝒱$ es invertible si y solo si $A x = 0$ implica que $x = 0$ , o, alternativamente, si y solo si todo $y$ en $𝒱$ puede escribirse en la forma $y = A x$ .

Demostración. Si $A$ es invertible, ambas condiciones se satisfacen; esto es trivial. Supongamos ahora que $A x = 0$ implica que $x = 0$ . Entonces $u \neq v$ , es decir, $u - v \neq 0$ , implica que $A (u - v) \neq 0$ , es decir, que $A u \neq A v$ ; esto prueba (i). Para probar (ii), sea ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ una base en $𝒱$ ; afirmamos que ${A x_{1}, \dots, A x_{n}}$ también es una base. Según Sección: Dimensión , Teorema 2, solo necesitamos probar la independencia lineal. Pero $\sum_{i} α_{i} A x_{i} = 0$ significa $A (\sum_{i} α_{i} x_{i}) = 0$ , y, por hipótesis, esto implica que $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ ; la independencia lineal de los $x_{i}$ ahora nos dice que $α_{1} = \dots = α_{n} = 0$ . Se sigue, por supuesto, que todo vector $y$ puede escribirse en la forma $y = \sum_{i} α_{i} A x_{i} = A (\sum_{i} α_{i} x_{i}) .$

Supongamos a continuación que todo $y$ es un $A x$ , y sea ${y_{1}, \dots, y_{n}}$ cualquier base en $𝒱$ . Correspondiendo a cada $y_{i}$ podemos encontrar un (no necesariamente único) $x_{i}$ para el cual $y_{i} = A x_{i}$ ; afirmamos que ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ también es una base. Pues $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ implica $\sum_{i} α_{i} A x_{i} = \sum_{i} α_{i} y_{i} = 0,$ de modo que $α_{1} = \dots = α_{n} = 0$ . Consecuentemente todo $x$ puede escribirse en la forma $x = \sum_{i} α_{i} x_{i}$ , y $A x = 0$ implica, como en el argumento que acabamos de hacer, que $x = 0$ . ◻

Teorema 3. Si $A$ y $B$ son invertibles, entonces $A B$ es invertible y $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ . Si $A$ es invertible y $α \neq 0$ , entonces $α A$ es invertible y $(α A)^{- 1} = \frac{1}{α} A^{- 1}$ . Si $A$ es invertible, entonces $A^{- 1}$ es invertible y $(A^{- 1})^{- 1} = A$ .

Demostración. Según el Teorema 1, es suficiente probar (para la primera afirmación) que el producto de $A B$ con $B^{- 1} A^{- 1}$ , en ambos órdenes, es la identidad; esta verificación dejamos al lector. Las pruebas de ambas afirmaciones restantes son idénticas en principio a esta prueba de la primera afirmación; la última afirmación, por ejemplo, se sigue del hecho de que las ecuaciones $A A^{- 1} = A^{- 1} A = 1$ son completamente simétricas en $A$ y $A^{- 1}$ . ◻

Concluimos nuestra discusión de inversas con el siguiente comentario. En el espíritu de la sección anterior podemos, si queremos, definir funciones racionales de $A$ , cuando sea posible, usando $A^{- 1}$ . No encontraremos útil hacer esto, excepto en un caso: si $A$ es invertible, entonces sabemos que $A^{n}$ también es invertible, $n = 1, 2, \dots$ ; escribiremos $A^{- n}$ para $(A^{n})^{- 1}$ , de modo que $A^{- n} = (A^{- 1})^{n}$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1. ¿Cuáles de las transformaciones lineales descritas en Sección: Transformaciones como vectores , Ej. 1 son invertibles?

Ejercicio 2. Una transformación lineal $A$ se define en $ℂ^{2}$ por $A (ξ_{1}, ξ_{2}) = (α ξ_{1} + β ξ_{2}, γ ξ_{1} + δ ξ_{2})$ donde $α$ , $β$ , $γ$ , y $δ$ son escalares fijos. Pruebe que $A$ es invertible si y solo si $α δ - β γ \neq 0$ .

Ejercicio 3. Si $A$ y $B$ son transformaciones lineales (en el mismo espacio vectorial), entonces una condición necesaria y suficiente para que ambas $A$ y $B$ sean invertibles es que ambas $A B$ y $B A$ sean invertibles.

Ejercicio 4. Si $A$ y $B$ son transformaciones lineales en un espacio vectorial de dimensión finita, y si $A B = 1$ , entonces ambas $A$ y $B$ son invertibles.

Ejercicio 5.

Si $A$ , $B$ , $C$ , y $D$ son transformaciones lineales (todas en el mismo espacio vectorial), y si ambas $A + B$ y $A - B$ son invertibles, entonces existen transformaciones lineales $X$ e $Y$ tales que $A X + B Y = C$ y $B X + A Y = D .$
¿En qué medida son necesarios los supuestos de invertibilidad en (a)?

Ejercicio 6.

Una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita es invertible si y solo si preserva la independencia lineal. Decir que $A$ preserva la independencia lineal significa que siempre que $𝒳$ es un conjunto linealmente independiente en el espacio $𝒱$ en el cual $A$ actúa, entonces $A 𝒳$ también es un conjunto linealmente independiente en $𝒱$ . (El símbolo $A 𝒳$ denota, por supuesto, el conjunto de todos los vectores de la forma $A x$ , con $x$ en $𝒳$ .)
¿Es necesario el supuesto de dimensión finita para la validez de (a)?

Ejercicio 7. Muestre que si $A$ es una transformación lineal tal que $A^{2} - A + 1 = 0$ , entonces $A$ es invertible.

Ejercicio 8. Si $A$ y $B$ son transformaciones lineales (en el mismo espacio vectorial) y si $A B = 1$ , entonces $A$ se llama inversa por la izquierda de $B$ e $B$ se llama inversa por la derecha de $A$ . Pruebe que si $A$ tiene exactamente una inversa por la derecha, digamos $B$ , entonces $A$ es invertible. (Pista: considere $B A + B - 1$ .)

Ejercicio 9. Si $A$ es una transformación lineal invertible en un espacio vectorial de dimensión finita $𝒱$ , entonces existe un polinomio $p$ tal que $A^{- 1} = p (A)$ . (Pista: encuentre un polinomio $q$ no nulo de grado mínimo tal que $q (A) = 0$ y pruebe que su término constante no puede ser $0$ .)

Ejercicio 10. Ideé una definición sensata de invertibilidad para transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Usando esa definición, decida cuál (si alguna) de las transformaciones lineales descritas en Sección: Transformaciones como vectores , Ej. 3 son invertibles.